Détermination de fonctions définies par f(x+y)=f(x)+f(y)

Bonjour, je suis en terminale spé maths et le prof a donné un dm noté qui je crois est un exercice de prépa, L1. Quelle est la démarche pour répondre à ces questions ? Merci d'avance.

exo:

But: Déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur R et à valeurs dans R telles que:
pour tout (x,y) appartenant à R² , f(x + y) = f(x) + f(y) ***

1)la fonction carré vérifie-t-elle *** ?
2)Montrer que si f : x -->f(x) vérifie *** alors f(0) = 0.
3)Prouver que si f : x -->f(x) vérifie *** alors sa fonction dérivée f' : x -->f'(x) est constante sur R.
On pourra faire intervenir la fonction rho : --> f(x + y) - f(x) - f(y).
4)En utilisant le résultat de la question 3, donner une condition nécessaire pour qu'une fonction f
vérifie ***.
5)La condition énoncée à la question précédente est-elle suffisante? Conclure.

@N0n0 Bonjour,

Si $f(x)=x^2$ , exprime $f (y)$ puis $f (x + y)$ .
Si $x$ et $y$ sont nuls, l'expression devient ....

Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.

Bonjour,

@N0n0 , quelques indications complémentaires si tu as besoin,

1) $f(x)=x^2$
$f(y)=y^2$
$f(x+y)=(x+y)^2$

Identité remarquable : $x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

d'où : $f (x) = f (x) = f (y) + 2 x y$

Tu tires la conclusion.

Comme te l'a indiqué @Noemi , en prenant $x = 0$ et $y = 0$ , donc $x + y = 0$ :

f(x+y)=f(x)+f(y) permet d'obtenir $f (0) = f (0) + f (0)$ <=> $f (0) = 2 f (0)$

En transposant : $f (0) - 2 f (0) = 0$ <=> $f (0) (1 - 2) = 0$ <=> $f (0) (- 1) = 0$

Tu tires la conclusion.

3)Tu peux utiliser la définition de dérivée :

$f (x + h) = f (x) + f (h)$ <=> $f (x + h) - f (x) = f (h)$

vu que $f (0) = 0$ : $f (x + h) - f (x) = f (h) - f (0)$

Tu peux écrire ( pour $h≠0h\ne 0$ )

$f(x+h)−f(x)h=f(0+h)−f(0)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

$lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

c'est à dire : $f′(x)=f′(0)\boxed{f'(x)=f'(0)}$
$f^{'} (0)$ est une constante (c'est le nombre dérivée de $f$ en 0)

Tu tires la conclusion.

Revois tout ça et essaie de poursuivre.

Merci beaucoup à vous deux, votre aide m'a énormément servie !!!!

De rien @N0n0

J'espère que tu es arrivé(e) à trouver la condition nécessaire et suffisante : $f (x) = a x$ , $a$ constante réelle.