Mathématiques terminale, inéquation avec des puissances

[hugo.mt_22]

Bonjour,
Montrez que pour n>= 5, 2^n > n².

Merci d'avance de votre attention.

[Noemi]

@hugo-mt_22 Bonjour,

Regarde cette vidéo sur le raisonnement par récurrence : https://www.youtube.com/watch?v=RKmkjVVCK70

[hugo.mt_22]

@Noemi j'ai compris le raisonnement par récurrence, mais je voudrais un oeil plus d'éclaircissements sur ce type d'exo.

[Noemi]

@hugo-mt_22

Tu as regardé la vidéo ? C'est pratiquement le même exercice.

[mtschoon]

Bonjour,

@hugo-mt_22 , j'espère que maintenant tu as bien regardé la vidéo proposée par @Noemi , qui t'a éclairé sur ton exercice.

La seule différence est pour la valeur de départ.

Dans la vidéo, $n\ge 4$ et l'inégalité à prouver est au sens large $2^n\ge n^2$ vu que pour $n=4$ il y a l'égalité $2^4=4^2$

Dans ton exercice, $n\ge 5$ et l'inégalité à prouver est au sens strict $2^n>n^2$ vu que pour $n=5$ il y a l'égalité $2^5>5^2$

Il faut donc que tu modifies l'initialisation.

Pour l'hérédité ( pour $n\ge 5$) , la démarche est la même.

Tu supposes que $2^n>n^2$ et tu dois démontrer que $2^{n+1}>(n+1{)}^2$

Je te mets des pistes mais je ne détaille pas (vu que les calculs sont faits dans la vidéo)

$2^n>n^2$ donc, en multipliant par $2$ on obtient $2^{n+1}>2n^2$

Il reste à prouver que : $2n^2>(n+1{)}^2$
(c'est à dire $n^2-2n-1>0$)
Par transitivité de la relation "$>$", on obtiendra $2^{n+1}>(n+1{)}^2$

Pour cela, tu étudies le signe, sur R, du polynôme du second degré $f(x)=x^2-2x-1$
Tu calcules $\Delta$ , $x_1$ et $x_2$ et tu fais le tableau de signes.
Tu déduis que pour $x>1+\sqrt{2}$, $f(x)>0$

Conséquence, vu que $5>1+\sqrt{2}$ :
Pour $n\ge 5$, $f(n)>0$ c'est à dire $n^2-2n-1>0$
D'où la conclusion souhaitée.

Revois tout ça de près.

Bon travail.