Equation de troisième degré

Bonjour,
J'ai un DM à faire qui est sur les polynomes de degré 3 mais on l'a pas vraiment étudié, je sais que résoudre les polynomes de second degré donc j'ai du mal. J'aimerai de l'aide s'il vous plait.

Exercice 1:

Soit l'équation (E) définie sur R par : $x^3+5x^2 - 12x+6 = 0$

Montrer que 1 est solution de l'équation (E)
Réponse : $1^3+5 * 1^2-12*1+6=0$
$= 1 + 5 - 6 = 0$
Montrer que : $x^3+5x^2-12x+6= (x-1)(x^2+6x-6)$

Et là je suis complètement perdue, j'ai pensé à transformer l'expression en un polynôme de degré 2 mais j'ai pas trouvé comment

Résoudre alors l'équation (E)

@math58004 Bonsoir,
Question 2,
$x^3+5x^2-12x+6=x^3-x^2+6x^2-12x+6=x^2(x-1)+6(x^2-2x+1)$
Je te laisse poursuivre la factorisation.
ou
mais c'est juste une vérification :
développe le terme de droite et vérifie qu'il est égal au terme de gauche.
$x-1)(x^2+6x-6)=x^3+ ....$

Question 3, Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
résous les équations :
$x - 1 = 0$
$x^2+6x-6=0$

Bonjour,

@math58004, je t'indique une méthode générale pour factoriser le polynôme $x^3+5x^2-12x+6$ par $(x - 1)$

Tu connais peut-être (ou tu connaitras) : c'est la méthode dite par identification.

Je te mets un lien :
https://www.mathforu.com/premiere-s/factorisation-d-un-polynome-par-identification

Il y a une autre méthode générale par division euclidienne qui est très bien, mais, en principe, elle ne se fait pas en Première.

Je te résume l'identification , dans cet exercice.

Vu que que 1 est un zéro du polynôme $x^3+5x^2-12x+6$ , on peut mettre $(x - 1)$ en facteur.

$x^3+5x^2-12x+6$ étant du 3ème degré et $(x - 1)$ du premier, le second facteur sera du second degré.

$x^3+5x^2-12x+6=(x-1)(ax^2+bx+c)$

Après développement et regroupement :
$x^3+5x^2-12x+6=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$

Vu que cette égalité est vraie pour tout $x$ réel, on identifie les coefficients :
${a=1b−a=5c−b=−12−c=6\begin{cases} a=1\cr b-a=5 \cr c-b=-12 \cr -c=6 \end{cases}$

Après résolution de ce système d'inconnues $a, b, c$ , on obtient:
$a = 1, b = 6, c = - 6$ d'où la réponse souhaitée.

Remarque : cette méthode à l'avantage de toujours fonctionner, même si la factorisation n'est pas indiquée dans l'énoncé (donc pas de vérification possible) ou si aucune transformation simple ne permet pas de factoriser.
Pa contre, elle a le désavantage de demander du travail !

Bon travail !

Bonjour, merci de votre aide j'ai donc fais ça:

Q2: $x-1)(x^2+6x-6)$
$x(x^2+6x-6)-1(x^2+6x-6)$
$x^3+6x^2-6x-x^2-6x+6$
$x^3+5x^2-12x+6$

Q3: $x-1)(x^2+6x-6)$
$(x - 1) = 0$ ou $x^2+6x-6)=0$

$x - 1 = 0$
$x = 1$

$O U$

$x^2+6x-6=0$
$a = 1$
$b = 6$
$c = - 6$

$Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac$
$6^2-4*(-6)$
$= 36 + 24 = 60$

$Δ\Delta$ >0 donc il existe 2 racines.

$x1=−b−Δ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
$=−6−602=\dfrac{-6-\sqrt{60}}{2}$
$=−3−15=-3-\sqrt{15}$

$x2=−b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$−b+602\dfrac{-b+\sqrt{60}}{2}$

$−3+15-3+\sqrt{15}$

Bonsoir,

@math58004 , c'est bon .