Dm de maths terminale sur les limites de fonctions


  • M

    Bonjour,
    je suis en terminale spécialité maths et j’ai du mal avec cet exercice. Je suis bloquée à la question 2 car on a une forme indéterminée et lorsque je la factorise pour la lever j’ai toujours une FI ?
    La fonction est : f(x)=(x2+x+1)/(x2+2x-3)
    Questions:
    1/trouver l’ensemble de définition
    2/les limites de la fonction aux bornes de l’ensemble de définition
    3/une équation de chaque asymptote éventuelle
    4/le tableau de variation
    Voici ce que je trouve lorsque je factorise :
    (1+1/x+1/x)/(1+2/x-3/x)
    Merci par avance, Lola.


  • mtschoon

    @Mimisss12 , bonsoir,
    Je suppose que tu as voulu écrire
    f(x)=x2+x+1x2+2x−3f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x-3}f(x)=x2+2x3x2+x+1

    Pour l'ensemble de définition :
    Df=]−∞,−3[∪]−3,1[∪]1,+∞[D_f=]-\infty,-3[\cup]-3,1[\cup]1,+\infty[Df=],3[]3,1[]1,+[

    Pour +∞\infty et -∞\infty, en prenant les termes de plus fort degré (ou en mettant x^2 en facteur) tu dois trouver 111

    Pour les limites à -3 et 1, tu peux factoriser le dénominateur

    f(x)=x2+x+1(x−1)(x+3)f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x+3)}f(x)=(x1)(x+3)x2+x+1

    Je t'indique le cas de 1

    Lorsque x tend vers 111, le numérateur tend vers 3
    le dénominateur tend vers 000
    Tu dois distinguer la limite à gauche et la limite à droite.

    Lorsque xxx tend vers 1 par valeurs supérieures à 111, (x−1)(x-1)(x1) tend vers 0+0^+0+, (x+3)(x+3)(x+3) tend vers 444 donc le produit (x−1)(x+3)(x-1)(x+3)(x1)(x+3) tend vers 0+0^+0+
    Le quotient tend vers +∞+\infty+

    lim⁡x→1,x>1f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1, x\gt 1} f(x)=+\inftyx1,x>1limf(x)=+

    En raisonnant de la même façon, tu dois trouver, lorsque xxx tend vers 111 par valeurs inférieures à 111 :
    lim⁡x→1,x<1f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 1, x\lt 1} f(x)=-\inftyx1,x<1limf(x)=

    Même principe pour -3

    lim⁡x→−3,x>−3f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to -3, x\gt -3} f(x)=-\inftyx3,x>3limf(x)=

    lim⁡x→−3,x<−3f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to -3, x\lt -3} f(x)=+\inftyx3,x<3limf(x)=+

    Travailles tout ça de près.


  • M

    @mtschoon
    Merci beaucoup
    J’ai oublié de marquer l’ensemble de définition que j’avais trouvé, c’était R{-3;1}
    Je pense avoir compris vos remarques, merci pour votre aide.


  • mtschoon

    @Mimisss12 ,

    Ton ensemble de définition est bon.

    J'espère que ça ira pour tes limites, mais reposte si tu as besoin de précision.


  • M

    @mtschoon
    Bonjour !
    J’ai une question à propos de la question 3 sur les asymptotes. La limite de f(x) c’est l’infinie donc l’asymptote sera verticale ?


  • mtschoon

    @Mimisss12 , bojour,

    Oui, tu as deux asymptotes "verticales" d'équation x=−3x=-3x=3 et x=1x=1x=1
    Tu as aussi l'asymptôte "horizontale" d'équation y=1y=1y=1 (pour x tendant vers +∞\infty et -∞\infty


  • mtschoon

    @Mimisss12
    Illustration graphique si besoin.
    Les trois asymptotes sont en rouge.

    asymptote.jpg
    Bon travail


  • M

    @mtschoon
    Ha super merci, j’étais en train de le faire pour mieux visualiser.
    Cependant je reviens à la question précédente, pouvez-vous me dire si c’est juste pour -3 ?
    lim (x-1)=4
    x->-3-
    lim (x+3)=0+
    x->-3-
    Donc par produit on a 0+ et par quotient on +♾
    C’est la que ça me gêne, j’aurai dit lim (x+3)=0-
    Mais alors par quotient on aurait -♾ alors que vous aviez dit que c’était +♾ ?


  • M

    @Mimisss12 je me suis pas relu, c’est -4 pour lim (x-1)


  • mtschoon

    @Mimisss12

    Tu as une erreur dans un signe.

    Lorsque xxx tend vers −3-33 (que ça soit par valeurs supérieures ou inférieures à −3-33), (x−1)(x-1)(x1) tend vers −3−1=−4-3-1=-431=4


  • M

    @mtschoon
    Ok merci. Donc lim (x+3)=0+ ?
    x->-3-
    Donc par produit on a 0+ et par quotient on a +♾ ?


  • mtschoon

    @Mimisss12 ,

    Non,
    Lorsque x tend vers −3−-3^{-}3 , x<−3x\lt -3x<3 donc x+3<0x+3\lt 0x+3<0
    donc x+3x+3x+3 tend vers 0−0^-0


  • M

    @mtschoon
    D’accord merci !


  • mtschoon

    De rien @Mimisss12 , fais bien attention aux signes.