grains de blé sur échiquier

[math58004]

Bonsoir
J'ai un dm à faire et je bloque sur la dernière question
J'aimerai de l'aide s'il vous plait

Un roi de Perse voulut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs. Celui-ci demanda au roi de déposer un grain de blé sur la
première case, 2 grains sur la seconde, 4 grains sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de
grains jusqu'à la 64ème case.

1. Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier ?

$Un=U0\ast q^n$
$U64=1\ast 2^{64}$
$U64=1.84E19$ grains

2. En admettant que 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, calculer la masse de ces grains de blé.
   $\frac{1.84E19}{1024}$ $=1.79E16$

Donc $(1.79E16)\ast 100=1.8E18$ grammes

Ou bien $\frac{1.8E18}{1E6}$ $=1.8E12$ tonnes

3. En 1989, la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, combien d'années de production faudrait-il pour
   remplir l'échiquier ?

$\frac{1.8E12}{30E6}$ $=6E4=60000$ ans

4. Sachant que le roi pose un grain à la seconde, et qu'il commença lors du big-bang, a-t-il aujourd'hui terminé ?

Je n'arrive pas à la question 4

[Noemi]

@math58004 Bonsoir,

Pour la première question, il est demandé le nombre total de grains, donc il faut faire une somme.
Rectifie les calculs.

Pour la question 4, il faut déterminer à combien d'année correspond le nombre total de grains sachant qu'un grain est posé chaque seconde.

[mtschoon]

Bonjour,
@math58004
La question 1) est : "Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier"
Comme te l'a indiqué @Noemi , il faut ajouter tous les grains.
De plus , il semble que ce que tu as appelé $U_n$ est le nombre de grains sur la case numéro $n$
Il y a un problème avec l'exposant que tu indiques

$U_1=1$
$U_2=2=2^1$
$U_3=2^2$
$U_4==2^3$
...
$U_n=2^{n-1}$
...
$U_{64}=2^{63}$

Vu que c'est classique, pour la question 1), tu peux regarder ici si tu le souhaites :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_l'échiquier_de_Sissa

Pour la 2) et la 3) vu que, numériquement, l'erreur de la 1) est infime, tes résultats de la 2) et de la 3) sont valables.

Pour la 4), cherche sur le web .
Cet événement du Big-Bang se serait produit il y a environ 13,8 milliards d'années, c'est à dire $13,8.10^9$ années.

Si tu fais le calcul pour le temps de remplissage de l'échiquier en secondes, que tu convertis en heures, puis jours, puis années, la réponse à la question sera NON

[math58004]

@mtschoon Bonjour, merci de m'avoir aidé
J'ai bien fais les calculs pour la 4, mais pour la première question j'ai pas trop compris le fonctionnement
j'ai fais ça :
$U64=1\ast 2^{64}-1$
$U64=1.84E19$

Est ce que la formule est bonne? Et est-ce que je devrais plutôt écrire $U63$ au lieu de $U64$?

[mtschoon]

@math58004 ,

Pour la 1) tu as bien compris qu'il faut ajouter les grains contenus dans toutes les cases.

Si tu appelles $U_n$ le nombre de grains contenus dans la case $n$, tu dois calculer le somme $S$ :
$S=U_1+U_2+U_3...+U_{64}$

Le suite $(U_n)$ est géométrique de premier terme $U_1$ et de raison $2$

Dans $S$, le nombre de termes est $64$

Avec la formule usuelle de la somme $S$ :

$S=premierterme\times \frac{1-q^{nbredetermes}}{1-q}$

$S=1\times \frac{1-2^{64}}{1-2}$

$S=\frac{1-2^{64}}{-1}$

$S=2^{64}-1$

Remarque : dans ta première réponse , tu semblais compter seulement $U_{64}$ (nombre de grains contenus dans la case $64$), et là il y avait une erreur car le nombre de grains contenus dans la case $64$ est $U_{64}=1\times 2^{63}=2^{63}$