Raisonnement pas récurrence

[Lucas_rst]

Bonjour je doit montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que un>1 sachant que un+1=5un-1/un+3 et je n’y arrive pas après plusieurs essaies…

[Lucas_rst]

@Lucas_rst si juste une personne pourrait me montrer la démarche pour réussir cet exercice s’il vous plaît ?

[Noemi]

@Lucas_rst Bonjour,

Pas de valeur pour $u_0$ ?
Pour l'hérédité,
tu pars de
$u_n>1$
$4u_n>4$
puis
$5u_n-1>u_n+3$

Je te laisse terminer.

[Lucas_rst]

@Noemi bonjour si uo=2

[Lucas_rst]

@Noemi et je ne comprend pas comment vous procéder

[Noemi]

@Lucas_rst

Tu cherches à démontrer que $u_{n+1}>1$
soit :
$\frac{5u_n-1}{u_n+3}>1$
comme $u_n+3>4$

$5u_n-1>u_n+3$
$5u_n-u_n>3+1$
$4u_n>4$
$u_n>1$

[mtschoon]

Bonjour,

@Noemi a dit dans Raisonnement pas récurrence :

@Lucas_rst

Tu cherches à démontrer que $u_{n+1}>1$
soit :
$\frac{5u_n-1}{u_n+3}>1$
comme $u_n+3>4$

$5u_n-1>u_n+3$
$5u_n-u_n>3+1$
$4u_n>4$
$u_n>1$

Bien sûr @Lucas_rst , c'est l'idée mais il faut rédiger autrement, car il ne faut pas partir de $U_{n+1}>1$ pour arriver à $U_n>1$

C'est le contraire qu'il faut faire : partir de $U_n>1$ pour arriver à $U_{n+1}>1$

Par exemple :

$\boxed{U_n>1}$ donc , en multipliant par 4 : $4U_n>4$

c'est à dire, en décomposant : $5U_n-U_n>3+1$

puis en transposant : $5U_n-1>U_n+3$

Vu que $U_n+3>0$ ( vu que par hypothèse $U_n>1$), en divisant par $U_n+3$ on ne change pas le sens de l'inégalité et l'on obtient :

$\frac{5U_n-1}{U_n+3}>\frac{U_n+3}{U_n+3}$
c'est à dire
$\frac{5U_n-1}{U_n+3}>1$

c'est à dire $\boxed{U_{n+1}>1}$

CQFD

[Noemi]

@mtschoon Bonjour,

Merci d'avoir repris et complété ma première réponse indiquée.

[mtschoon]

De rien Noemi

J'avais peur que @Lucas_rst se fasse des idées fausses...

[Lucas_rst]

@mtschoon ok merci beaucoup après quelques temps pour comprend j’ai compris comment vous avez fait et ensuite je doit montrer que vn est arithmétique en précisant sa raison sachant que vn = 1/un-1

[Noemi]

@Lucas_rst

Exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

[Lucas_rst]

@Noemi oui c’est ce que j’ai fait mais j’arrive à
Vn+1= un+3/4 X Vn donc je sais pas quoi faire car je pense que je me suis tromper

[Noemi]

@Lucas_rst
$v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n+3}{5u_n-1-u_n-3}=\frac{u_n+3}{4u_n-4}$

puis tu remplaces $u_n$ par $\frac{1}{v_n}+1$

Tu dois trouver : $v_{n+1}=v_n+\frac{1}{4}$

[Lucas_rst]

@Noemi bonjour je n’arrive pas à trouver le bon résultat

[Lucas_rst]

@Noemi je trouve 1+4Vn/4

[mtschoon]

@Lucas_rst , bonjour,

Vu que tu n'utilises pas le Latex, tu devrais mettre des
parenthèses pour que tes écritures soient correctes.

Tu as écrit 1+4Vn/4

Si cela veut dire (1+4Vn)/4, c'est bon

Tu décomposes :
$V_{n+1}=\frac{1+4V_n}{4}=\frac{1}{4}+\frac{4V_n}{4}$

Tu simplifies :
$V_{n+1}=\frac{1}{4}+V_n$

La suite $(V_n)$ est arithmétique de raison $\frac{1}{4}$

[Lucas_rst]

@mtschoon ok merci beaucoup

[mtschoon]

De rien @Lucas_rst.

J'espère que ton exercice n'est pas terminé car cette suite arithmétique ne servirait à rien...

Peut-être que l'on te demande l'expression de $V_n$ puis de $U_n$ plus la limite de $U_n$ lorsque $n$ tend vers $\infty$ (et tu devrais trouver $1$).

Bon travail.