Raisonnement par récurrence

Bonjour .
Exercice :
Soit la suite ( Xₙ) ₙ∈ ℕ définie X₀ = 4 et Xₙ+1= 2Xₙ^2 - 3/Xₙ+2.
Démontrer par récurrence que ∀ n ∈ ℕ, Xₙ >3
Besoin d'aide, merci pour toutes vos réponses d'aide.

@medou-coulibaly , bonjour,

Pourrais-tu préciser l'expression de $X_{n+1}$ , car sans Latex, il y a un doute.

Est-ce bien $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n}+2$ ? (c'est ce que tu as écrit)

ou $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n+2}$ ?

ou $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_{n+2}}$ ?

Merci.

@medou-coulibaly , si c'est bien la première écriture, c'est assez simple.

Initialisation pour $n = 0$ : $U_0=4$ donc $U0>3U_0\gt 3$

Hérédité:

Hypothèse à un ordre $n$ de $N$ : $Xn>3X_n\gt 3$
Conclusion à démontrer : $Xn+1>3X_{n+1}\gt 3$

Pistes de démonstration :

$Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n}+2$

$Xn>3X_n\gt 3$ donc $(Xn)2>9(X_n)^2\gt 9$ donc $2(Xn)2>182(X_n)^2\gt 18$

donc $2(Xn)2+2>202(X_n)^2+2\gt 20$

$Xn>3X_n\gt 3$ donc $3Xn<33\dfrac{3}{X_n} \lt \dfrac{3}{3}$ donc $3Xn<1\dfrac{3}{X_n} \lt 1$ donc $−3Xn>−1-\dfrac{3}{X_n} \gt -1$

Au final , en ajoutant des inégalités de même sens
$2(Xn)2+2−3Xn>20−12(X_n)^2+2-\dfrac{3}{X_n} \gt 20-1$

Tu termines.

@mtschoon non c'est pas çà, c'est ce que j'ai écrit

@mtschoon je ne sais pas comment utiliser le latex , je travaille avec un smart phone, donc c'est difficile pour moi de répondre aux messages surtout en écrivant en langage mathématiques.

@medou-coulibaly a dit dans Raisonnement par récurrence :

@mtschoon non c'est pas çà, c'est ce que j'ai écrit

Bonjour,

Ce que tu as écrit n'est pas explicite.
La plupart des interprétations possibles ont été données par mtschoon

On peut, sans Latex, écrire de manière explicite ... mais on doit alors utiliser les parenthèses adéquates et faire en plus ce qu'il faut pour qu'on puisse distinguer les indices du reste.
... Donc pour ne pas confondre par exemple : $U_n + 1$ avec $U_{n+1}$

La balle est donc dans ton camp.
Si ce n'est aucune des interprétations données par mtschoon, alors fais l'effort d'écrire la relation de récurrence de manière claire (parenthèses et ....) et ce n'est pas "ce que tu as écrit".

@medou-coulibaly ,

Je t'ai donné une explication avec ce que tu as écrit (si c'est bien ce que tu voulais écrire) c'est à dire ma première proposition
$Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2\boxed{X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n}+2}$

Vérifie si c'est bien cette expression dont il s'agit.
Si c'est ça, regarde mes indications.
Sinon, précise .

En ce qui concerne l'écriture Latex, je t'avais mis le lien dans un topic précédent, mais bien sûr, ça s'apprend...
Je te le remets si tu le souhaites :
https://forum.mathforu.com/category/26/latex

@mtschoon j'ai reposté mais jusqu'à rien n'a changé au niveau de l'écriture

@Black-Jack c'est Xn +1 = 2X²n -3 ( le -3 / x+2 )

@mtschoon a dit dans Raisonnement par récurrence :

@medou-coulibaly
Pourrais-tu préciser l'expression de $X_{n+1}$ , car sans Latex, il y a un doute.

Est-ce bien $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n}+2$ ? (c'est ce que tu as écrit)

ou $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n+2}$ ?

ou $Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_{n+2}}$ ?

S'il te plait @medou-coulibaly , pourrais tu dire clairement si une de ces 3 expressions est bonne ou pas ?

Si une est bonne, indique laquelle.
Je t'ai répondu en utilisant la première expression écrite.

@medou-coulibaly , je te donne une explication si ce que tu souhaites est la seconde écrite c'est à dire :
$Xn+1=2(Xn)2−3Xn+2\boxed{X_{n+1}=2(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n+2}}$

Comme précédemment , pour l'hérédité, en partant de $Xn>3X_n\gt 3$ , tu obtiens $2(Xn)2>182(X_n)^2\gt 18$ (formule i)

Ensuite,
$Xn+2>5X_n+2\gt 5$ donc $1Xn+2<15\dfrac{1}{X_n+2}\lt \dfrac{1}{5}$ donc $3Xn+2<35\dfrac{3}{X_n+2}\lt \dfrac{3}{5}$

d'où : $\dfrac{3}{X_n+2}\gt -\dfrac{3}{5}$ (formule ii)

En ajoutant membre à membre les formules (i) et (ii), tu dois obtenir :
$2(Xn)2−3Xn+2>8752(X_n)^2-\dfrac{3}{X_n+2}\gt \dfrac{87}{5}$

Vu que $875>3\dfrac{87}{5}\gt 3$ , tu peux déduire, par transitivité de la relation" $>\gt$ ", que $Un+1>3U_{n+1}\gt 3$

J'espère qu'une de ses deux versions de ton énoncé est la bonne...

@mtschoon oui oui

@medou-coulibaly , c'est bien si tu as l'explication que tu souhaites.
Regarde la de près et demande si nécessaire.

@mtschoon merci beaucoup madame j'ai travaillé dessus et j'ai compris, je désolé pour le fait qu'on ne sait vite pas compris au sujet de l'exercice

C'est parfait @medou-coulibaly , si tu as tout compris.

Une autre fois, pour éviter les confusions, sans Latex, comme te l'a dit Black-Jack, mets des parenthèses.

Ce n'est vraiment pas beau, mais c'est compréhensible.

Tu aurais pu écrire par exemple :
X_(n+1)=2.(X_n)^2 - 3 / ( X_n + 2 )
ou
X(n+1)=2.(X(n))^2 - 3 / ( (X(n) + 2 )

Bon travail !

@mtschoon ok d'accord merci beaucoup madame, j'ai compris je ferai attention autrement!

@medou-coulibaly madame j'ai des difficultés avec les raisonnement par récurrence

@medou-coulibaly
Si c'est le principe que tu ne comprends pas bien, tu peux peut-être consulter ici :
https://www.mathforu.com/terminale-s/le-raisonnement-par-recurrence,

@mtschoon merci beaucoup madame mais la vidéo je n'arrive pas à la lire

@medou-coulibaly Bonjour,

Une autre vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=udGGlHdSAgc

Re-bonjour,

@medou-coulibaly , désolée que tu n'aies pu ouvrir la vidéo proposée.
Je te mets un lien (ce n'est pas une vidéo)
Il y a définition et applications.
https://www.techno-science.net/definition/6409.html

@Noemi , bonjour,

De chez moi, j'ai une "bizarrerie"...

@Noemi a dit dans Raisonnement par récurrence :

@medou-coulibaly Bonjour,

Une autre vidéo : https://forum.mathforu.com/topic/33386/raisonnement-par-récurrence/11

Quand je clique sur lien que tu proposes, je retombe sur ce topic...
C'est vraiment très bizarre...mais si ce problème vient de chez moi, ça n'a pas d'importance !

@mtschoon Bonjour,

J'ai rectifié le lien.

@Noemi a dit dans Raisonnement par récurrence :

@mtschoon Bonjour,
J'ai rectifié le lien.

OK Noemi,
Avec le nouveau lien , https://www.youtube.com/watch?v=udGGlHdSAgc, cette fois, ça marche.

@mtschoon merci Madame

@mtschoon oui j'ai lu la vidéo merci beaucoup à vous

Bonnes récurrences @medou-coulibaly !

@mtschoon merci beaucoup madame