géométrie dans l'espace : 3 points coplanaires
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Bonjour,
Question qui peut paraître 'bête' mais pourquoi 3 points sont-ils toujours coplanaires ? J'ai du mal à comprendre qu'est ce qui nous permet d'affirmer cela...
Merci pour toutes aides !
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BBlack-Jack dernière édition par
BOnjour,
"qu'est ce qui nous permet d'affirmer cela..."
L'évidence.
Mais si on ne "voit" pas dans l'espace, il suffit d'imaginer un plan quelconque qui passe par 2 des points ...
Si on fait pivoter ce plan autour de la droite passant par les 2 points, le balayage passe par tous les points de l'espace ... et entre autre par le 3 ème point, donc 3 points sont toujours coplanaires.
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@Black-Jack Ok merci
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Bonjour,
Une autre possibilité éventuelle,
Une réflexion "analytique" pour légitimer le fait que 3 points distincts sont nécessairement coplanaires.
Considérer l'espace (de dimension 3) muni d'un repère (O,i→,j→,k→)(O, \overrightarrow i, \overrightarrow j,\overrightarrow k)(O,i,j,k)
A,B,CA, B, CA,B,C trois points de l'espace (considérés distincts pour que la question ne soit pas totalement triviale), chacun avec ses 3 coordonnées.
Avec ces coordonnées, on peut déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB et AC→\overrightarrow{AC}AC1er cas : il existe un réel kkk tel que AB→=kAC→\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}AB=kAC
AB→\overrightarrow{AB}AB et AC→\overrightarrow{AC}AC sont colinéaires.
Les points A,B,CA,B, CA,B,C sont sur une droite (D)(D)(D)
Par celle droite (D)(D)(D) passe une infinité de plans
Donc A,B,CA,B, CA,B,C appartiennent à une infinité de plans.2ème cas : il n'existe pas un réel kkk tel que AB→=kAC→\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}AB=kAC
AB→\overrightarrow{AB}AB et AC→\overrightarrow{AC}AC ne sont pas colinéaires.
A,B,CA,B, CA,B,C déterminent un triangle (non aplati) contenu dans un plan (P)(P)(P) unique, dont on peut trouver, avec les coordonnées de A,B,CA,B,CA,B,C, une équation cartésienne sous la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 (a,b,c, non tous nuls)., ou une représentation paramétrique.En bref, le problème de points coplanaires se posent à partir de, au moins, 4 points.