DM (exo bac) sur intégrales



  • bonjour, voilà mon DM qui comporte 2 sujets

    1er ex: nouvelle calédonie 1990

    soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = sin (pipix)

    1. a) tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm)

    j'ai réussi : j'ai calculé la dérivée puis étudié.

    b) calculer I = int(sin (pipix); 0; 1

    j'ai réussi : j'ai trouvé I = 2pipi

    c) interpréter graphiquement cette intégrale

    j'ai hachuré toute la partie sous la courbe (de la question 1a))

    1. pour tout entier naturel n >= 2 , on pose
      SnS_n = 1/n [ f(0) + f(1/n) + f(2/n)+ ...+ f(n-1 /n) ]

    a) interpréter graphiquement SnS_n, en introduisant les rectangles RkR_k de base [ k/n ; k+1 /n ] et de hauteur f(k/n) , où 0 <= k <= n-1
    faire la figure pour n=8

    c'est là que je bloque

    b) prouver que :

    1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

    ca non plus je n'y arrive pas

    merci bcp pour votre aide


  • Modérateurs

    salut,
    il y a une petite erreur pour ta primitive à la question Ib), dérive ta primitive tu devrais d'où ça vient.
    Pour la 2a) calcule l'aire d'un tel rectangle pour k=1, k=2 ... tu verras mieux ce qu'on te demande, tu auras donc 8 rectangles à faire.
    Pour la question suivante il faut que tu $passes(1-e^{i$pi$/n}$ ) de l'autre côté, ce sera alors plus facile à démontrer (une récurrence serait bien ici).



  • je ne comprend pas pourquoi vous dite que la question 1.b) est fausse
    pour calculer l'intégrale I, je dois bien trouver une primitive de sin(pipix) et c'est -pipicos(pipix)..je trouve donc bien 2pipi


  • Modérateurs

    si tu dérives -pipicos(pipix) ça te donne pipi²sin(xpipi) et non sin(xpipi),
    -pipicos(pipix) n'est donc pas une primitive de sin(pipix), c'est juste une erreur de coefficient mais ça fausse ton résultat.
    Et pour le reste tu vois ce qu'il faut faire ou pas ?



  • c'est ( -1/pipi^2)*cos pipix ???

    et non, pour le reste, je suis perdue

    merci d'avance
    Misti


  • Modérateurs

    Non ce n'est pas encore ça, là si tu dérives ça te donnera (1/pipi)sin(xpipi).
    Pour les rectangles il faut que tu commences par faire la figure, le rectangle R0R_0 par exemple a pour largeur le segment de l'axe des abscisses qui va de 0 à 1/8 et pour hauteur f(1/8). Une fois que tu auras fait le dessin, calcule l'aire de chaque rectangle et essaie de trouver un rapport avec Sn.



  • c'est donc -1/pipi* cos (pipix)

    merci pour la 2 a, je vais aller voir ca



  • pour la 2 a), je trouve 1/8 sin (pipi/8) + 2/8 sin(2pipi/8) + 3/8 sin (3pipi/8)+ ....

    suis je dans la bonne voie?
    mais normalement je devrais avoir un 1/n en commun comme dans Sn?

    merci d'avance



  • Misti

    1. b) prouver que :
      1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

    salut

    j'interviens pour celle-ci

    je pense que tu as vu qu'il s'agissait de la somme des termes d'une suite, comme
    u0u_0 +u1+u_1 + u2u_2 + ... + unu_n
    où il te reste à identifier le genre de suite en jeu.

    en fait c'est uku_k = $e^{k i$pi$ /n}$ = $(e^{i $pipi/n})k)^k

    c'est donc une suite géométrique, de raison q = ..., et dont tu sais calculer la somme des termes depuis la 1re.

    j'espère que ça ira comme ça.


  • Modérateurs

    pour la 2a,
    tu t'es trompé au niveau de la largeur de tes rectangles, relis bien le sujet, le rectangle ne "part" pas toujours de l'origine, c'est de là que provient ton problème de factorisation.
    Merci Zauctore pour la 2b j'avais pas vu que c'était une suite géométrique :rolling_eyes: , effectivement c'est beaucoup plus simple comme ça 😁 .



  • je suis d'accord pour la suite géométrique c'est UNU_N = U0U_0 * (e(e^{ipipi/n})N)^N , merci beaucoup
    mais j'ai du mal a obtenir le 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )
    merci d'avance



  • c'est la formule

    1 + q + ... + qpq^p = (1 - qp+1q^{p+1})/(1 - q).

    à adapter ici, sachant que (e(e^{ipipi/n})n)^n = $e^{i$pi$}$ = -1.



  • ok merci bcp

    la question d'après, c'est en deduire
    sin (pipi/n) + sin(2pipi/n) + ...+ sin ((n-1)pipi/n) = (cos(pipi/2n) / (sin(pipi/2n)

    j'arrive pas à décrocher la relation



  • voilà le 2ème exo

    1. On pose pour tout entier naturel n non nul:

    InI_n = 1/n! int((1x)nint((1-x)^n exe^{-x} dx

    a. a l'aide d'une intégration par parties, calculer I1I_1

    je trouve I1I_1 = -1/2 -1/4e

    b. prouver que, pour tout entier naturel n non nul :
    0 <= InI_n <= 1/n! int(exint(e^{-x} dx
    en déduire lim InI_n
    n -> +inf/

    c'est là que je bloque

    c. montrer, en utilisant une intégration par parties que, pour tout entier naturel n non nul, on a In+1I_{n+1} =( 1/ (n+1)!) In-I_n

    merci d'avance



  • Salut - je ne m'occupe pas du 2d2^d exo si tu permets.
    Misti

    1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

    • arrange un peu le membre de droite avec
      $e^{i$pi$/n}$ = ( $e^{i$pi$/2n}$ )^2
      et 1 = $e^{i$pi$/2n}$ . $e^{-i$pi$/2n}$.

    c'est un truc un peu technique pour faire apparaître les formules d'Euler.

    • prends la partie imaginaire de l'égalité encadrée.

  • Modérateurs

    pour l'exercice 2, entre quelles valeurs est prise ton intégrale?
    Quoi qu'il arrive, tu t'es trompée sur ton intégration par partie, tu trouves un résultat négatif alors qu'à la question d'après on te demande de prouver que c'est positif. Si les valeurs sont 0 et 1, par quoi peux-tu encadrer (1-x) et donc par quoi peux-tu encadrer InI_n ?
    Une fois que tu as l'encadrement, la limite paraît simple.
    Pour la dernière question utilise un raisonnement par récurrence.



  • C'est un calcul difficile en TS : je le joins en image non-cliquable - j'espère ne pas avoir fait de bourde ! J'espère aussi l'avoir rendu clair par un jeu de couleur.

    http://pix.nofrag.com/65/e3/a1f50a8237314141f867c0c84496.jpeg

    @+



  • merci bcp
    juste une erreur dans (5) et (6), ce n'est pas i/n mais pipi/n ainsi que 2pipi/n et ainsi de suite
    Merci pour votre aide
    Misti



  • Oui exact ! j'ai rectifié cela ci-dessus (encore une histoire de copier-coller !) : merci et bravo pour ta vigilance.



  • par contre, il nous demande aprés de prouver que lim Sn = 2/pipi qd n -> +inf/

    avec les 2 questions précédentes, je trouve

    Sn = $2/((1-e^{i$pi$/n}$ )ni) -(1/i)

    amis ca tend pas vers 2/pipi

    je comprend pas.
    merci d'avance



  • utilise la nouvelle expression, sachant

    lim cos u = 1 pour u -> 0,

    lim sin(v)/v = 1 pour v -> 0.

    aide : v = pipi/2n tend bien vers 0... lorsque n -> +inf/.



  • Tiens :

    http://pix.nofrag.com/bb/7b/728e467e4224e30d0e18c52c9c7e.jpeg
    aujourd'hui, j'avais vraiment envie de faire du LaTeX.
    @+



  • merci bcp Zautore, votre aide m'a été très utile



  • raycage
    pour l'exercice 2, entre quelles valeurs est prise ton intégrale?
    Quoi qu'il arrive, tu t'es trompée sur ton intégration par partie, tu trouves un résultat négatif alors qu'à la question d'après on te demande de prouver que c'est positif. Si les valeurs sont 0 et 1, par quoi peux-tu encadrer (1-x) et donc par quoi peux-tu encadrer InI_n ?
    Une fois que tu as l'encadrement, la limite paraît simple.
    Pour la dernière question utilise un raisonnement par récurrence.

    pour Raycage

    merci bcp
    oui l'intégrale est comprise entre 0 et 1 et je trouve maintenant 1/e (une erreur de signe)

    merci bcp, je vais aller voir pour l'encadrement



  • donc pour l'encadrement

    l'intégrale est prise entre 0 et 1, encadrons (1-x)
    0 <= (1-x) <= 1 donc aux extrémités:
    d'un coté: x=0, on a In = 0
    de l'autre pour x=1, on a In = 1/n! * int(exint(e^{-x} dx entre 0 et 1,
    donc 0 <= In <= 1/n! * int(exint(e^{-x} dx entre 0 et 1 par ce que les fonctions utilisées sont définies et continues

    pour la limite
    qd n -> +inf/ , 1/n! = 0, donc 1/n! * int(exint(e^{-x} dx entre 0 et 1 -> 0

    donc d'après le th des gendarmes, In -> 0

    voilà, je vais regarder la suite


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