DM (exo bac) sur intégrales

[Misti]

bonjour, voilà mon DM qui comporte 2 sujets

1er ex: nouvelle calédonie 1990

soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = sin ($pi$x)

1. a) tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm)

j'ai réussi : j'ai calculé la dérivée puis étudié.

b) calculer I = int(sin ($pi$x); 0; 1

j'ai réussi : j'ai trouvé I = 2$pi$

c) interpréter graphiquement cette intégrale

j'ai hachuré toute la partie sous la courbe (de la question 1a))

2. pour tout entier naturel n >= 2 , on pose
   $S_n$ = 1/n [ f(0) + f(1/n) + f(2/n)+ ...+ f(n-1 /n) ]

a) interpréter graphiquement $S_n$, en introduisant les rectangles $R_k$ de base [ k/n ; k+1 /n ] et de hauteur f(k/n) , où 0 <= k <= n-1
faire la figure pour n=8

c'est là que je bloque

b) prouver que :

1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

ca non plus je n'y arrive pas

merci bcp pour votre aide

[kanial]

salut,
il y a une petite erreur pour ta primitive à la question Ib), dérive ta primitive tu devrais d'où ça vient.
Pour la 2a) calcule l'aire d'un tel rectangle pour k=1, k=2 ... tu verras mieux ce qu'on te demande, tu auras donc 8 rectangles à faire.
Pour la question suivante il faut que tu $passes(1-e^{i$pi$/n}$ ) de l'autre côté, ce sera alors plus facile à démontrer (une récurrence serait bien ici).

[Misti]

je ne comprend pas pourquoi vous dite que la question 1.b) est fausse
pour calculer l'intégrale I, je dois bien trouver une primitive de sin($pi$x) et c'est -$pi$cos($pi$x)..je trouve donc bien 2$pi$

[kanial]

si tu dérives -$pi$cos($pi$x) ça te donne $pi$²sin(x$pi$) et non sin(x$pi$),
-$pi$cos($pi$x) n'est donc pas une primitive de sin($pi$x), c'est juste une erreur de coefficient mais ça fausse ton résultat.
Et pour le reste tu vois ce qu'il faut faire ou pas ?

[Misti]

c'est ( -1/$pi$^2)*cos $pi$x ???

et non, pour le reste, je suis perdue

merci d'avance
Misti

[kanial]

Non ce n'est pas encore ça, là si tu dérives ça te donnera (1/$pi$)sin(x$pi$).
Pour les rectangles il faut que tu commences par faire la figure, le rectangle $R_0$ par exemple a pour largeur le segment de l'axe des abscisses qui va de 0 à 1/8 et pour hauteur f(1/8). Une fois que tu auras fait le dessin, calcule l'aire de chaque rectangle et essaie de trouver un rapport avec Sn.

[Misti]

c'est donc -1/$pi$* cos ($pi$x)

merci pour la 2 a, je vais aller voir ca

[Misti]

pour la 2 a), je trouve 1/8 sin ($pi$/8) + 2/8 sin(2$pi$/8) + 3/8 sin (3$pi$/8)+ ....

suis je dans la bonne voie?
mais normalement je devrais avoir un 1/n en commun comme dans Sn?

merci d'avance

[Zauctore]

Misti

2. b) prouver que :
   1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

salut

j'interviens pour celle-ci

je pense que tu as vu qu'il s'agissait de la somme des termes d'une suite, comme
$u_0$ $+u_1$ + $u_2$ + ... + $u_n$
où il te reste à identifier le genre de suite en jeu.

en fait c'est $u_k$ = $e^{k i$pi$ /n}$ = $(e^{i $$pi$/n}${)}^k$

c'est donc une suite géométrique, de raison q = ..., et dont tu sais calculer la somme des termes depuis la 1re.

j'espère que ça ira comme ça.

[kanial]

pour la 2a,
tu t'es trompé au niveau de la largeur de tes rectangles, relis bien le sujet, le rectangle ne "part" pas toujours de l'origine, c'est de là que provient ton problème de factorisation.
Merci Zauctore pour la 2b j'avais pas vu que c'était une suite géométrique :rolling_eyes: , effectivement c'est beaucoup plus simple comme ça .

[Misti]

je suis d'accord pour la suite géométrique c'est $U_N$ = $U_0$ * $(e$^{i$pi$/n}${)}^N$ , merci beaucoup
mais j'ai du mal a obtenir le 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )
merci d'avance

[Zauctore]

c'est la formule

1 + q + ... + $q^p$ = (1 - $q^{p+1}$)/(1 - q).

à adapter ici, sachant que $(e$^{i$pi$/n}${)}^n$ = $e^{i$pi$}$ = -1.

[Misti]

ok merci bcp

la question d'après, c'est en deduire
sin ($pi$/n) + sin(2$pi$/n) + ...+ sin ((n-1)$pi$/n) = (cos($pi$/2n) / (sin($pi$/2n)

j'arrive pas à décrocher la relation

[Misti]

voilà le 2ème exo

1. On pose pour tout entier naturel n non nul:

$I_n$ = 1/n! $int((1-x{)}^n$ $e^{-x}$ dx

a. a l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$

je trouve $I_1$ = -1/2 -1/4e

b. prouver que, pour tout entier naturel n non nul :
0 <= $I_n$ <= 1/n! $int(e^{-x}$ dx
en déduire lim $I_n$
n -> +inf/

c'est là que je bloque

c. montrer, en utilisant une intégration par parties que, pour tout entier naturel n non nul, on a $I_{n+1}$ =( 1/ (n+1)!) $-I_n$

merci d'avance

[Zauctore]

Salut - je ne m'occupe pas du $2^d$ exo si tu permets.
Misti

1 + $e^{i$pi$/n}$ + $e^{2i$pi$/n}$ + ....+ $e^{(n-1)i$pi$/n}$ = 2/ (1- $e^{i$pi$/n}$ )

• arrange un peu le membre de droite avec
  $e^{i$pi$/n}$ = ( $e^{i$pi$/2n}$ )^2
  et 1 = $e^{i$pi$/2n}$ . $e^{-i$pi$/2n}$.

c'est un truc un peu technique pour faire apparaître les formules d'Euler.

• prends la partie imaginaire de l'égalité encadrée.

[kanial]

pour l'exercice 2, entre quelles valeurs est prise ton intégrale?
Quoi qu'il arrive, tu t'es trompée sur ton intégration par partie, tu trouves un résultat négatif alors qu'à la question d'après on te demande de prouver que c'est positif. Si les valeurs sont 0 et 1, par quoi peux-tu encadrer (1-x) et donc par quoi peux-tu encadrer $I_n$ ?
Une fois que tu as l'encadrement, la limite paraît simple.
Pour la dernière question utilise un raisonnement par récurrence.

[Zauctore]

C'est un calcul difficile en TS : je le joins en image non-cliquable - j'espère ne pas avoir fait de bourde ! J'espère aussi l'avoir rendu clair par un jeu de couleur.

@+

[Misti]

merci bcp
juste une erreur dans (5) et (6), ce n'est pas i/n mais $pi$/n ainsi que 2$pi$/n et ainsi de suite
Merci pour votre aide
Misti

[Zauctore]

Oui exact ! j'ai rectifié cela ci-dessus (encore une histoire de copier-coller !) : merci et bravo pour ta vigilance.

[Misti]

par contre, il nous demande aprés de prouver que lim Sn = 2/$pi$ qd n -> +inf/

avec les 2 questions précédentes, je trouve

Sn = $2/((1-e^{i$pi$/n}$ )ni) -(1/i)

amis ca tend pas vers 2/$pi$

je comprend pas.
merci d'avance

[Zauctore]

utilise la nouvelle expression, sachant

lim cos u = 1 pour u -> 0,

lim sin(v)/v = 1 pour v -> 0.

aide : v = $pi$/2n tend bien vers 0... lorsque n -> +inf/.

[Zauctore]

Tiens :

aujourd'hui, j'avais vraiment envie de faire du LaTeX.
@+

[Misti]

merci bcp Zautore, votre aide m'a été très utile

[Misti]

raycage
pour l'exercice 2, entre quelles valeurs est prise ton intégrale?
Quoi qu'il arrive, tu t'es trompée sur ton intégration par partie, tu trouves un résultat négatif alors qu'à la question d'après on te demande de prouver que c'est positif. Si les valeurs sont 0 et 1, par quoi peux-tu encadrer (1-x) et donc par quoi peux-tu encadrer $I_n$ ?
Une fois que tu as l'encadrement, la limite paraît simple.
Pour la dernière question utilise un raisonnement par récurrence.

pour Raycage

merci bcp
oui l'intégrale est comprise entre 0 et 1 et je trouve maintenant 1/e (une erreur de signe)

merci bcp, je vais aller voir pour l'encadrement

[Misti]

donc pour l'encadrement

l'intégrale est prise entre 0 et 1, encadrons (1-x)
0 <= (1-x) <= 1 donc aux extrémités:
d'un coté: x=0, on a In = 0
de l'autre pour x=1, on a In = 1/n! * $int(e^{-x}$ dx entre 0 et 1,
donc 0 <= In <= 1/n! * $int(e^{-x}$ dx entre 0 et 1 par ce que les fonctions utilisées sont définies et continues

pour la limite
qd n -> +inf/ , 1/n! = 0, donc 1/n! * $int(e^{-x}$ dx entre 0 et 1 -> 0

donc d'après le th des gendarmes, In -> 0

voilà, je vais regarder la suite