Inéquations avec des réels a, b, x, y

Bonsoir , vous pouvez m'aider dans cette exercice s'il vous plait
Soient a,b,x et y de R : montrer que
ax+by=1 ce qui implique x^2+y^2 supperieure ou egale a 1/a^2+b^2 .
2- monter que :pour tout (a,b) appartient a R *+ : (a+b)(1/a + 1/b) supperieure ou egale a 4
3-monter que : pour tout (a,b) appartient a R ; a+b inferieure ou egale a (1+a^2)(1+b^2)

@Medamine Bonjour,

Pour la question 1, développe :
$ax+by)^2$ et $x^2+y^2)(a^2+b^2)$ puis analyse le deuxième produit.

Pour la question 2,
vérifie la relation dans le cas $a = b$ puis
suppose $\gt a$ et pose $b = a + c$ avec $\gt0$ .

Bonjour,

Titre donné par @Medamine : "Produit scalaire dans le plan"
je n'arrive pas à voir le lien avec les questions posées...

@Medamine s'est peut-être trompé de titre...

Bonjour,

Merci à la modération pour le changement de titre.

@mtschoon mais a travers le produit scalaire on peut travailler avec la relation de Cauchy-Schwarz

@Medamine

L'inégalité de Cauchy-Schwarz munie du produit scalaire est au programme de première S ?

@Medamine a dit dans Inéquations avec des réels a, b, x, y :

@mtschoon mais a travers le produit scalaire on peut travailler avec la relation de Cauchy-Schwarz

@Medamine , bonjour,
Cauchy-Schwarz n'est vraiment indispensable ici .

@Medamine , pour la 1) , avec Cauchy-Schwarz ( cas "basique" ), si tu le souhaites,

Soit $(a,b)\overrightarrow{U}\ (a,b)$ et $(x,y)\overrightarrow{V}\ (x,y)$

$∣U→.V→∣≤∣∣U→∣∣×∣∣V→∣∣|\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}|\le ||\overrightarrow{U}||\times ||\overrightarrow{V}||$

$∣ax+by∣≤a2+b2x2+y2|ax+by|\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$

$1≤a2+b2x2+y21\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$

Elévation au carré : $1≤(a2+b2)(x2+y2)1\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)$

En s'assurant que $a2+b2≠0a^2+b^2\ne 0$ :

$x2+y2≥1a2+b2x^2+y^2\ge \dfrac{1}{a^2+b^2}$

Bonjour,

Je regarde les 3 questions.

Cet exercice n'est pas un exercice d'application d'un thème particulier de Première , pas plus le produit scalaire (Cauchy-Schwarz) qu'autre chose.

Il consiste à démontrer des inégalités entre nombres réels avec la méthode de son choix.

Pour la question 1), on peut utiliser, par exemple, le produit scalaire mais on peut aussi s'en passer.
( voir la proposition de Noemi)

Pour la question 2), par équivalences logiques, par exemple, les identités remarquables suffisent pour répondre.

$(a+b)(1a+1b)≥4(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\ge 4$
équivaut
$(a+b)(a+bab)≥4(a+b)(\dfrac{a+b}{ab})\ge 4$
équivaut
$(a+b)2≥(4ab)(a+b)^2\ge (4ab)$
équivaut
$a2+b2+2ab≥4aba^2+b^2+2ab\ge 4ab$
équivaut
$a2+b2−2ab≥0a^2+b^2-2ab\ge 0$
équivaut
$(a−b)2≥0(a-b)^2\ge 0$
La dernière inégalité écrite étant vraie, par équivalences logiques, la première écrite l'est aussi.

Pour la question 3), un peu de "transformation" suffit...

En partant de $(1−a)2≥0(1-a)^2\ge 0$ , on peut écrire
$1+a2−2a≥01+a^2-2a\ge 0$ , c'est à dire $1+a2≥2a1+a^2\ge 2a$ c'est à dire $2a1+a2≤1\dfrac{2a}{1+a^2}\le 1$ , c'est à dire $a1+a2≤12\dfrac{a}{1+a^2}\le \dfrac{1}{2}$

(d'ailleurs avec une formule de trigonométrie (angle moitié)
$sinx=2t1+t2sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}$ on aurait trouvé directement cette formule)

Conséquence:
$a(1+a2)(1+b2)≤12(1+b2)≤12\dfrac{a}{(1+a^2)(1+b^2)}\le \dfrac{1}{2(1+b^2)}\le \dfrac{1}{2}$

De même : $b(1+a2)(1+b2)≤12\dfrac{b}{(1+a^2)(1+b^2)}\le \dfrac{1}{2}$

En ajoutant membre à membre :
$a+b(1+a2)(1+b2)≤1\dfrac{a+b}{(1+a^2)(1+b^2)}\le 1$

d'où : $a+b≤(1+a2)(1+b2)a+b\le (1+a^2)(1+b^2)$

(Encore pas de produit scalaire ici )

@mtschoon Oui c'est ca ce que j'ai obtenu finalement

@Noemi C'est ca ce qu'on a dans notre programme

@Noemi @mtschoon Merci beaucoup beaucoup pour votre effort

De rien @Medamine .
C'est très bien si tu es arrivé à tout démontrer.

@mtschoon Oui et j'ai compris aussi

@Medamine ,
Parfait !