Trigonométrie simple

[sam_7344]

Bonjour je suis nouveau sur le forum et je cherche à comprendre la méthode de résolution d'un problème de trigonométrie de niveau première. je ne comprends pas la correction du devoir, il m'est donc compliqué d'aider mon fils. Une aide serais appréciée. Le problème cherche de solution sur l'intervalle ]-pi;pi].

voici l'enoncé:
cosx (1+2sin(2x+pi/3)) = 0

je résoud comme suit : l'un des produits est nul, puis j'identifie sur le cercle trigo les solutions sur ]-pi;pi]

pou cos x S:{-pi/2;pi/2}

par contre pour sin:
(1+2sin(2x+pi/3)) = 0 => sin(2x+pi/3) =-1/2
j'identifie sur l'intervalle]-pi;pi]. deux solutions S:{ -pi/6; -5Pi/6}

j'écrie ensuite les égalités: sans utiliser le +2Kpi car nous ne cherchons pas de solutions sur l'ensembledes réels
1- sin(2x+pi/3) = sin (-pi/6) => 2x+pi/3=-pi/6 > x=-3pi/12
2- sin(2x+pi/3) = sin (-5pi/6) =>2x+pi/3=-5pi/6 >x =-7pi/12

donc sur ]-pi;pi] S:{-pi/2;pi/2; -3pi/12;-7pi/12}

la correction donne des valeurs suplémentaires S:{-pi/2;pi/2; -3pi/12;-7pi/12;-pi/4;5i/12;3pi/4}

merci de votre aide.

[Noemi]

@sam_7344 Bonjour,

L'erreur vient du fait que vous n'avez pas utiliser le $2k\pi$ pour le sinus.
$2x=-\frac{3\pi }{6}+2k\pi$ donne $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ qui donne sur l'intervalle
$]-\pi ;\pi ]$, $x=-\frac{\pi }{4}$ et $x=\frac{3\pi }{4}$.

Idem pour l'autre calcul.

[sam_7344]

@Noemi a dit dans Trigonométrie simple :

2x=−63π​+2kπ donne x=−π4+kπx= -\dfrac{\pi}{4}+k\pix=−4π​+kπ qui donne sur l'intervalle
]−π;π]]-\pi;\pi]]−π;π], x=−π4x=-\dfrac{\pi}{4}x=−4π​ et x=3π4x= \dfrac{3\pi}{4}x=43π​.

Merci pour votre réponse Rapide.
Je considère que l'on met 2kPi car on cherche toutes les solutions possibles sur l'ensemble des réels, avant de définir les solutions sur l'intervalle d'étude ]-pi;pi]
pour l'autre calcul
donc on cherche pour sin toutes les solutions possible sur l'ensemble des réels.
2x+pi/3= -5pi/3+2kpi donne x=-7pi/12+2kpi
ce qui donne sur l'intervalle ]-pi;pi] , x=-7pi/12 et x=-7pi/12+pi > x=5pi/12.

La solution globale pour le produit Cos et Sin sur l'intervelle ]-pi;pi] est donc S:{-7pi/12;-pi/2;-pi/4;5pi/12;3pi/4;pi/12}

Merci.

Je vais lui proposer un deuxième exercice: 1+2Cos(2x+pi/3) sinx =0