Triangle dans hexagone

Bonjour,

Je sèche sur un exercice complexe de calcul de l'aire d'un triangle à l'intérieur d'un hexagone regulier.
J'ai tourné et retourné thales, pythagore, sinus, tangente, rien n'y fait !!!

J'ai tracé mille figures à l'intérieur et autour de l'hexagone pour calculer leurs diagonales, leur angles, j'ai posé des équations... Il me manque toujours une donnée pour boucler le calcul.

Je pense que mes deux droites sont perpendiculaires mais n'arrive pas à le prouver...

Help !!

@diogenedutonneau Bonjour,

Une piste,
Exprime la hauteur du triangle (avec Thalès) en fonction de la demi- hauteur de l'hexagone (avec la trigonométrie).

Bonjour,

Seulement une remarque,

@diogenedutonneau , je ne comprends pas ton schéma...

Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.

Tu parles d' "hexagone régulier" mais ta figure ne représente pas un hexagone régulier...

Bizarre.

@diogenedutonneau , re-bonjour,

Pour le cas où il s'agit bien d'un hexagone régulier, je te joins un schéma.

Je ne suis pas sûre que les droites (KA) et (KB) soient exactement perpendiculaires.

Tu peux commencer par creuser la piste de Noemi (je n'ai pas cherché).

Sinon , tu peux solutionner cette question de l'aire $(A B K)$ par la voie analytique.

Soit $O$ le centre de l'hexagone pris pour centre du repère orthonormé $(O,i→,j→)(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
Le cercle de construction a pour centre $O$ et pour rayon $4$

@diogenedutonneau ,

Pistes par la voie analytique mais tous les calculs sont à faire (ce ne sont que des pistes)

1 ) Recherche des coordonnées de $A, D, I$

Dans le triangle rectangle $A N O$
$sin(NAO^)=ONOAsin(\widehat{NAO})=\dfrac{ON}{OA}$ c'est à dire
$sin(60°)=ON4sin(60°)=\dfrac{ON}{4}$
c'est à dire $32=ON4\dfrac{\sqrt 3}{2}=\dfrac{ON}{4}$
d'où $ON=23ON=2\sqrt 3$
$A$ a pour coordonnées $-2\sqrt 3)$

Tu peux en déduire les cordonnées de $D$ par symétrie $2\sqrt 3)$

Or $C$ a pour coordonnées $(4, 0)$

Tu obtiens ensuite : $I$ milieu de $[C D]$ pour coordonnées $(3,3)(3,\sqrt3)$

2 ) Equations des droites $(A I)$ et $(B J)$ les coordonnées de $K$ point d'intersection.

Tu as les coordonnées de $A$ et de $I$
L'équation réduite de la droite $(A I)$ , de la forme $y = a x + b$ sauf erreur, doit être $y=335x−435y=\dfrac{3\sqrt 3}{5}x-\dfrac{4\sqrt 3}{5}$

Pour $(B J)$ , sauf erreur , l'équation réduite est :
$y=−335x−435y=-\dfrac{3\sqrt 3}{5}x-\dfrac{4\sqrt 3}{5}$

Le point $K$ doit avoir pour coordonnées $(0,−435)(0,-\dfrac{4\sqrt 3}{5})$

3 ) Conséquence
Vu que $N$ a pour coordonnées $(−22,0)(-2\sqrt 2,0)$ , tu peux calculer la distance $K N$ ( tu dois trouver $635\dfrac{6\sqrt 3}{5}$ ) puis l'aire( $A K B)$ (en unités d'aire)
$aire(AKB)=KN×AB2=2.43aire(AKB)=\dfrac{KN\times AB}{2}=\boxed{2.4\sqrt 3}$

Vérifie tout ça (si tu utilises cette méthode).

Bons calculs.

Bonjour,

Tout d'abord, merci d'avoir pris le temps pour cette réponse détaillée.
Mon hexagone est bien régulier, je pense que c'est la feuille à grands carreaux qui fait illusion d'optique.
Je me suis lancée dans un calcul trigonométrique à partir d'un triangle adjacent. Si ça ne marche pas, je tenterai ta technique.
Bonne soirée.

@diogenedutonneau Bonjour,

En utilisant les points de la figure de mtschoon, calcule la mesure de $O N$ (trigonométrie). Puis utilise Thalès dans les triangles $K I J$ et $K A B$ ,
Puis exprimer $K P$ en fonction de $K N$ .
Puis calculer $K P$ .

Bonjour,

@diogenedutonneau , bon courage pour la méthode que tu souhaites utiliser.
Quelle que doit la méthode, tu devrais arriver au même résultat pour l'aire $(A K B)$ .

@Noemi Bonsoir,
Je ne comprends pas à quoi sert la mesure de ON ?

@diogenedutonneau

Soit tu calcules $O N$ , soit tu calcules $O P$ ; $\dfrac{OP}{2}$
$K P = O P + O K$ et
$O K = O N - K N$
Si tu utilises Thalès :
$KNKP=ABJI\dfrac{KN}{KP}=\dfrac{AB}{JI}$