exercice démonstration (positif)

Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur ce sujet :

Démontrez que pour tout réel x strictement positif, 2√x+1/x>=3.

Merci d'avance

Une piste :
je suppose que l'inéquation est : $2x+1x≥32\sqrt x + \dfrac{1}{x} \geq 3$
Fais un changement de variable en posant $\sqrt x$ , puis résous l'inéquation.

Bonsoir, merci pour votre réponse !

J'arrive à X>=(3x-1)/(2x)
mais je bloque.

@Thomas-DUPUYDAUBY

$2x+1x≥32\sqrt x + \dfrac{1}{x} \geq 3$ équivalent à :

$2x+1x−3≥02\sqrt x + \dfrac{1}{x} -3\geq 0$

On pose $\sqrt x$

$2X+1X2−3≥02X+\dfrac{1}{X^2}-3 \geq0$ en réduisant au même dénominateur :
$2X3−3X2+1≥02X^3-3X^2+1 \geq 0$ qu'il faut factoriser :
$(X−1)2(2X+1)≥0(X-1)^2(2X+1) \geq0$

Je te laisse conclure.

@Noemi Merci !!

Bonjour,

@Thomas-DUPUYDAUBY , avec l'aide de Noemi, tu sembles avoir trouvé la conclusion de cet exercice sans difficulté.
C'est très bien !

Pour le cas où ça ne serait pas le cas de tout le monde, j'explicite un peu cette conclusion.

L'inéquation $2x+1x≥32\sqrt x +\dfrac{1}{x} \ge 3$ est à résoudre pour $x>0x\gt 0$

$X=xX=\sqrt x$
Pour $x>0x\gt 0$ , $X>0\boxed{X\gt 0}$

Après transformations, on obtient :
$(X−1)2(2X+1)X2≥0\dfrac{(X-1)^2(2X+1)}{X^2}\ge 0$

$X>0X\gt 0$ , donc $(2X+1)>0(2X+1)\gt 0$
$X-1)^2$ est un carré, donc $(X−1)2≥0(X-1)^2\ge 0$

Conclusion :
$(X−1)2(2X+1)X2≥0\dfrac{(X-1)^2(2X+1)}{X^2}\ge 0$ est vraie pour tout $X$ strictement positif.
$2x+1x≥32\sqrt x +\dfrac{1}{x} \ge 3$ est vraie pour tout $x$ strictement positif.