Fonction et e népérien


  • Amina Bayana

    Bonsoir à tous svp j'ai une petite difficulté. J'ai du mal à trouver les limites aux bornes de + et - l'infinie ainsi que la dérivée de cette fonction :f(x)=(x+2)exp^-x


  • N
    Modérateurs

    @Amina-Bayana Bonsoir,

    Pour la limite en +∞+\infty+, mets xxx en facteur.
    Pour la dérivée, utilise la dérive de U×VU\times VU×V.

    Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.


  • Amina Bayana

    @Noemi oui merci j'ai appliqué la formule pour f=u×v f'=u'v+uv' ça m'a donné comme dérivée (x-1)e^-x


  • N
    Modérateurs

    @Amina-Bayana

    c'est faux :
    u(x)=x+2u(x) = x+2u(x)=x+2 donne u′(x)=1u'(x)=1u(x)=1 et
    v(x)=e−xv(x)= e^{-x}v(x)=ex donne v′(x)=−e−xv'(x)=-e^{-x}v(x)=ex

    Vérifie tes calculs.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Amina-Bayana , j'espère que tu as refais le calcul de f′(x)f'(x) f(x)avec les réponses de Noemi.

    Tu dois trouver f′(x)=(−x−1)e−xf'(x)=(-x-1)e^{-x}f(x)=(x1)ex

    Remarque :
    Avec cette dérivée, vu que pour tout xxx réel, e−x>0e^{-x}\gt 0ex>0, tu peux déduire que f′(x)f'(x)f(x) est du signe de (−x−1)(-x-1)(x1) donc sens de variation de fff facile à trouver.

    Bon calcul.


  • mtschoon

    @Amina-Bayana , quelques indications complémentaires sur les limites.

    Lorsque xxx tend vers +∞+\infty+, pour te ramener à des formules usuelles de ton cours, tu transformes f(x)f(x)f(x)

    f(x)=x+2ex=xex+2exf(x)=\dfrac{x+2}{e^x}=\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{2}{e^x}f(x)=exx+2=exx+ex2

    f(x)=1(exx)+2exf(x)=\dfrac{1}{\biggr(\dfrac{e^x}{x}\biggr)}+\dfrac{2}{e^x}f(x)=(xex)1+ex2

    Regarde les propriétés vues en cours.

    Au final, tu dois trouver

    lim⁡x→+∞f(x)=0\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=0}x+limf(x)=0

    Lorsque xxx tend vers −∞-\infty, c'est assez immédiat avec directement l'expression de l'énoncé :
    f(x)=(x+2)e−xf(x)=(x+2)e^{-x}f(x)=(x+2)ex

    (x+2)(x+2)(x+2) tend vers −∞-\infty
    Lorsque xxx tend vers −∞-\infty, −x-xx tend vers +∞+\infty+ , donc e−xe^{-x}ex tend vers +∞+\infty+ (voir cours)

    Tu cherche la limite du produit (voir cours)

    Au final, tu dois trouver

    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}xlimf(x)=

    Bons calculs.


  • mtschoon

    @Amina-Bayana

    Représentation graphique de fff

    expoTer.jpg


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