Trouver toutes les primitives d’une fonction quotient
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Ddodo123 dernière édition par Noemi
Bonjour,
Notre professeur de mathématiques nous a demander de faire cet exercice de primitive, d’habitude ça va tout seul, mais là le dénominateur est trop complexe je n’arrive même pas à trouver les nombres réels a,b et c. Si quelqu’un pourrait m’aider ce serait gentil merci !Scan supprimé par la modération du site.
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Ddodo123 dernière édition par
@dodo123
Ps: je pense devoir aussi utilisé la lettre d et que cela donnerai: a + b/x + cx+d/x^2+1
Cependant je suis bloquer à cette étape.
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = (x³+x+1)/(x³+x) = 1 + 1/(x.(x²+1)) (1)
Et 1/(x.(x²+1)) = A/x + (Bx+C)/(x²+1)
Tu développes et identifies ... et tu devrais arriver à A = 1; B = -1 et C = 0
--> 1/(x.(x²+1)) = 1/x - x/(x²+1)Donc : (x³+x+1)/[x.(x²+1)] = 1 + 1/x - x/(x²+1)
Dit autrement.
Lorsque le degré du numérateur est >= à celui du dénominateur, le mieux est de commencer par faire la division euclidienne, on se retrouve ici avec la relation notée (1) qui est simpliste à traiter.
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Ddodo123 dernière édition par dodo123
@Black-Jack Oui je comprends mais je me suis renseigné auprès de mes camarades et ils m’ont dis qu’ils ont utilisé une autre lettre notée d pour réaliser cet exercice, saviez vous comment peut on le faire de l’autre manière ?
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Il y a toujours plusieurs possibilités de résolutions ...
On peut parfaitement partir de :
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = a + b/x + (cx+d)/(x^2+1) (Avec les parenthèses que j'ai ajoutées ... sinon c'est faux) (1)
On remet ensuite le second membre au même dénominateur : [ax(x²+1) + b*(x²+1) + x.(cx+d)]/(x*(x^2+1))
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = [ax(x²+1) + b*(x²+1) + x(cx+d)]/(x*(x^2+1))
On développe le numérateur du second membre :
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = (ax³ + ax + bx²+b + cx²+dx)/(x(x^2+1))
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = (ax³ + (b+c)x² + (a+d)x + b)/(x(x^2+1))
On identifie ensuite les coefficients de même puissance en x des numérateurs des 2 membres, et on obtient alors le système :
a = 1
b+c = 0
(a+d) = 1
b = 1Qui résolu donne : a = 1, b = 1, c = -1 et d = 0
Et donc en remettant ces résultats dans (1), il vient :
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = 1 + 1/x + (-1*x+0)/(x²+1)
(x³+x+1)/[x(x²+1)] = 1 + 1/x - x/(x²+1)
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@dodo123 Bonjour,
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