Calcul intégrale ln(2x+3)-x entre 0 et 1 ? HELP ME PLEASE !

Bonjour à tous,
Je me débats depuis quelques temps afin de comprendre le traitement d'une intégrale issue d'un sujet de concours.
Comment résoudre sur l'intervalle [0 ; +oo[ l'intégrale f (x)=ln(2x+3)-x entre 0 et 1 ?
et quel est le résultat ?
N'ayant pas suivi un cursus scientifique, je galère malgré plusieurs tentatives et recherches.
J'ai essayé l'intégration par partie en ajoutant x1 devant ln mais rien n'y fait. Et que faire du terme -x ?
En résumé je suis largué.
Merci pour votre aide

@snuts31380 Bonjour,

Est-ce la seule question de l'exercice ?

Bonjour,

@snuts31380 ,

Je suppose que c'est sur une primitive de $l n (2 x + 3)$ que tu bloques car pour $x$ , une primitive est "évidente"

Pour $l n (2 x + 3)$ , une IPP convient en "bricolant" un peu.

Je te mets une piste possible (pour une primitive de $l n (2 x + 3)$ , à une constante additive près).

$U = l n (2 x + 3)$
$V^{'} = 1$
$U′=22x+3U'=\dfrac{2}{2x+3}$
$V = x$

$∫ln(2x+3)dx=xln(2x+3)−∫2x2x+3dx\displaystyle \int ln(2x+3)dx=xln(2x+3)-\int\dfrac{2x}{2x+3}dx$

$∫2x2x+3dx=∫2x+3−32x+3dx\displaystyle \int\dfrac{2x}{2x+3}dx=\int \dfrac{2x+3-3}{2x+3}dx$

$∫2x2x+3dx=∫1dx−∫32x+3dx\displaystyle \int\dfrac{2x}{2x+3}dx=\int 1dx-\int \dfrac{3}{2x+3}dx$
$∫2x2x+3dx=x−32∫22x+3dx\displaystyle \int\dfrac{2x}{2x+3}dx=x-\dfrac{3}{2}\int \dfrac{2}{2x+3}dx$

$∫2x2x+3dx=x−32ln(2x+3)\displaystyle \int\dfrac{2x}{2x+3}dx=x-\dfrac{3}{2}ln(2x+3)$

$∫2x2x+3dx=(2x+3)ln(2x+3)2−x\displaystyle \int\dfrac{2x}{2x+3}dx=\dfrac{(2x+3)ln(2x+3)}{2}-x$

De plus,

$∫xdx=x22\displaystyle \int xdx=\dfrac{x^2}{2}$

Tu vérifies tout ça et tu continues.

Tu peux donner la réponse finale si le souhaites.

@snuts31380 ,

Je viens de faire le calcul final de l'intégrale entre 0 et 1
Ce n'est pas très beau...vérifie...

$∫01(ln(2x+3)−x)dx=12(ln(312527)−3)\displaystyle \int_0^1 \biggr(ln(2x+3)-x\biggr)dx=\dfrac{1}{2}\biggr(ln(\dfrac{3125}{27})-3\biggr)$