Dm suite définie par U1=1/3 et Un+1=(n+1)/(3n)*Un

On considère la suite (Un) définie par : U1=1/3 et Un+1=((n+1)/(3n))*Un pour tout entier naturel n >/=1.

Calculer U2 et U3. (ça j'ai réussi)
On pose pour tout entier naturel n >/= 1, Vn = Un/n.
a) Démontrer que pour tout entier n >/= 1, Vn+1=(1/3)*Vn.
b) En déduire la nature de la suite (Vn), préciser la raison et le premier terme.
c) Démontrer que Un=n(1/3)^n pour tout entier naturel n >/= 1.
Démontrer que pour tout entier naturel n >/= 1, Un+1 -Un = (1-2n)*(1/3)^(n+1), puis en déduire le sens de variation de la suite (Un).

Merci d'avance

PS: je suis nouveau sur le forum, donc j'espère que j'ai bien respecté les règles de présentation du problème

Bonjour,

Vn = Un/n

V(n+1) = U(n+1)/(n+1)
V(n+1) = [((n+1)/(3n))*Un]/(n+1)
V(n+1) = Un/(3n)
V(n+1) = (1/3).(U(n)/n)
V(n+1) = (1/3).V(n)

Donc Vn est une suite géométrique de raison 1/3 et de 1er terme V1 = U1/1 = 1/3

Continue ..

Bonjour @Black-Jack,
merci beaucoup pour cette réponse, ça me débloque bien pour la suite !

@Black-Jack mais du coup on peut réutiliser cette technique pour la c) en faisant :
Un = n*(1/3)^n
U(n+1) = (n+1)*(1/3)^(n+1) ?

@pixel_mode Bonjour,

Pour la question 2. c), utilise les indications et résultats obtenus à la question 2.

@pixel_mode a dit dans Dm suite définie par U1=1/3 et Un+1=(n+1)/(3n)*Un :

@Black-Jack mais du coup on peut réutiliser cette technique pour la c) en faisant :
Un = n*(1/3)^n
U(n+1) = (n+1)*(1/3)^(n+1) ?

On a ... :

Donc Vn est une suite géométrique de raison 1/3 et de 1er terme V1 = U1/1 = 1/3

-----> V(n) = (1/3)^n

Or on sait que Vn = Un/n. et donc
U(n) = n*V(n)

U(n) = n * (1/3)^n

@Black-Jack ah d'accord, c'est aussi simple que ça en fait ! c'est toujours le problème que j'ai en maths, je part souvent trop loin malheureusement...
Merci de m'avoir encore aidé