Corrigé du prof sur un exercice du type : Etudier le sens de variation d'une suite et si possible, en décider si elles sont convergentes.

Bonjour,

J'ai besoin d'aide concernant l'exercice suivant : $u_{n}$ = 16, $un+3\sqrt{u_{n} +3}$
On me demande d'étudier le sens de variation de la suite et si possible en décider si elles sont convergentes.

J'ai fait l'exercice en faisant un raisonnement par récurrence ou j'ai essayé de démontrer que la suite $u_{n}$ est croissante, ce qui a montré le contraire à l'initialisation. J'en ai effectué un autre pour démontrer que la suite est décroissante pour tout n, ce qui a fonctionné.

Cependant, pour qu'une suite soit convergeant, dans ce cas, il faut qu'elle soit minorée et la je bloque...

J'ai corrigé avec mon prof cet exercice et il a effectué un processus sans raisonnement pas récurrence et en quelques secondes et j'aimerais que vous me l'expliquiez s'il vous plait(j'ai posé de nombreuses questions aux profs mais je ne comprenais toujours pas et nous sommes passé à autre chose pour une question de temps).

Voici ce qu'il a fait :

On verifie :

$u_{n + 1}$ $≥un\geq u_{n}$
$un+3\sqrt{u_{n + 3}}$ $>un\gt u_{n}$
$u_{n}$ + 3 $>un\gt u_{n}$ $^2$
0 $<un\lt u_{n}$ $^2$ - $u_{n}$ - 3

A ce moment là il en a déduit que la suite est décroissante.

On a calculé delta = 13 et les deux racines : $x_{1}$ = $1+132\dfrac{{1+\sqrt{13}}}{2}$ et $x_{2}$ = $1−132\dfrac{{1-\sqrt{13}}}{2}$

Et c'est à partir de là qu'il en a déduit qu'elle était convergente.

Si vous pouviez m'aider à y voir plus clair et à comprendre ce raisonnement s''il vous plait.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

@AdaLove Bonsoir,

Vérifie le début de l'énoncé : $u_{n}$ = 16, $un+3\sqrt{u_{n} +3}$ ?

@Noemi En effet excusez moi j'ai fait des erreurs de manipulation en voulant copier coller les outils pour rendre visible les écritures mathématiques. Je voulais écrire $u_{0}$ = 16, $u_{n+1}$ = $un+3\sqrt{u_{n} +3}$

@AdaLove

Un problème à la dernière inéquation écrite :
C'est $un2−un−3<0u_n^2-u_n-3 \lt 0$
et $u_0= 16$
donc suite décroissante

@Noemi Je crois avoir compris, c'est parce que $u_{n+1}$ - $u_{n}$ < 0. Et concernant la convergence de la suite ? Comment a-t-il pu le déduire ? Il faudrait savoir si elle est minorée

@AdaLove

$u_n$ est strictement positif, donc $u_{n+1}$ tend vers ....

@Noemi Je ne comprends pas trop mais je suppose que ça tend vers 0 vu que les termes de la suites deviendront de plus en plus petit sans être négatif. C'est bien cela ?

@AdaLove

Si $u_n$ tend vers 0, $u_n+3$ tend vers ... et $un+3\sqrt{u_n+3}$ tend vers ....

Bonjour,

Il me semble qu'il y a au minimum une mauvaise compréhension.

Je mettrais ta tête à couper que ce que le prof a écrit (ou voulu écrire) ressemblait à ceci :

Supposons que U(n+1) >= U(n) (1)
alors, on aurait :
$Un+3\sqrt{U_n + 3 }$ >= $U_n$

$U_n + 3$ >= $Un^2$

$Un^2 - U_n - 3$ <= $0$ (2)

Mais (2) est faux puisque le discriminant de $Un^2 - U_n - 3 = 0$ est négatif et que donc $Un^2 - U_n - 3$ a le signe de son coefficient en $U_n^2$ , donc positif.

Donc en supposant que U(n+1) >= U(n), on arrive à une absurdité (puisque (2) est faux)

En conclusion, on doit avoir U(n+1) < U(n) et la suite Un est décroissante.
''''''''''
Si Un > 0, $Un+3\sqrt{U_n + 3 }$ > 0 donc U(n+1) > 0 (3)
Comme U0 > 0, par (1), on conclut que U(n) > 0 pour tout n de N

La suite Un est donc minorée (par 0) (na pas confondre avec la valeur min de Un est 0)

La suite Un est donc décroissante et minorée, donc elle converge.
''''''''''
Recherche da la valeur vers laquelle la suite converge.

Pour n--> oo, la suite converge vers L (qui doit être compris dans [0 ; 16] car ...)

$limn→+∞Un=limn→+∞Un+1lim_{n\to +\infty}U_n = lim_{n\to +\infty} U_{n+1}$

$\sqrt{L+3}$ avec L dans [0 ; 16]

L² = L+3
L² - L - 3 = 0

Et en tenant compte que L est dans [0;16], on trouve $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

La suite Un converge vers $1+132\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

@Black-Jack Bonsoir,

Merci de votre réponse. Je pense avoir compris, pour confirmer cela j'ai fait un exercice similaire. Pouvez-vous me dire si je suis en tord ?

L'énoncé : Étudier le sens de variation de la suite. Si possible, décider si elle est convergente.

$u_{0}$ = 1, $u_{n+1}$ = $14un+3\frac{1}{4} u_{n} + 3$

Je suppose que $un+1≥unu_{n+1} \geq u_{n}$ soit,

$14un+3≥un\frac{1}{4} u_{n} + 3 \geq u_{n}$
$14un−un≥−3\frac{1}{4} u_{n} - u_{n} \geq -3$
$−34un≥−3-\frac{3}{4} u_{n} \geq -3$
$un≤−3−34u_{n} \leq \frac{-3}{-\frac{3}{4}}$
$un≤123u_{n} \leq \frac{12}{3}$
$un≤4u_{n} \leq 4$

Pour un carré, ce sera forcément positif, mais là je ne sais pas trop. Je dirais que par instinct, c'est strictement positif et croissant et que la suite est majorée par 4, bornée en [1, 4], donc convergente.

@Noemi Bonsoir,

Merci pour votre réponse.

Je dirais que $u_{n+3}$ tend vers 0 et également $un+3\sqrt{u_{n} + 3}$

@AdaLove

Pour l'exercice similaire, démontre par récurrence que $un≤4u_n \leq 4$ .

Pour la limite de la suite du premier exercice regarde la fin de réponse du précédent message.

@Noemi

J'ai démontré par récurrence $un≤4u_{n} \leq 4$ . Soit,

On vérifie que $un≤4u_{n} \leq 4$ ,

Initialisation :

$u_{0} = 1$
$1<41\lt4$

La propriété est vraie pour $u_{0} = 1$

Hérédité :
On doit montrer que $un+1≤4u_{n+1} \leq 4$ revient à $un≤4u_{n} \leq 4$ ,

$un+1≤4u_{n+1} \leq 4$
$14un+3≤4\frac{1}{4}u_{n} + 3 \leq 4$
$14un≤4−3\frac{1}{4}u_{n} \leq 4-3$
$un≤114u_{n} \leq \frac{1}{\frac{1}{4}}$
$un≤4u_{n} \leq 4$

La propriété est vraie pour tout n

Pour la limite je n'arrive vraiment pas à comprendre. Il doit me manquer quelque chose.

@AdaLove

Pour la limite, tu poses que quand $n$ tend vers l'infini, $u_{n+1}$ et $u_n$ ont pour limite $l$ soit à résoudre l'équation $\dfrac{1}{4}l+3$ .

Bonjour,

Pour le 2ème exercice, j'aurais fait ceci :

Supposons U(n) < 4 pour une certaine valeur k de N, on a alors :

U(k) < 4
1/4 U(k) + 3 < 4/4 + 3
1/4 U(k) + 3 < 4
U(k+1) < 4

Donc si U(n) < 4 pour une certaine valeur k de n, c'est encore vrai pour n = (k+1) (1)

On vérifie que U(n) < 4 pour n = 0 ...
On a U(0) = 1 < 0 et donc, par (1), on a : U(n) < 4 pour tout n de N

La suite est donc majorée par 4 (2)
'''''
U(n+1) - U(n) = 1/4 U(n) + 3 - Un

U(n+1) - U(n) = 3 - (3/4) Un > 0 puisque U(n) < 4 (démontré avant)

U(n+1) - U(n) > 0 et donc la suite Un est croissante. (3)
''''''
(2) et (3) -->
La suite Un est croissante et majorée, elle est donc convergente.
......
On a donc : lim(n-->+oo) U(n) = lim(n-->+oo) U(n+1) = L

La suite converge vers L et on a : L = L/4 + 3

L = 4

La suite Un converge vers 4.
''''''

C'est ainsi qu'on faisait (ou à peu près) il y a presque 6 décennies, quand j'usais mes pantalons sur les bancs en secondaire, j'ignore si ce type de rédaction est encore de mise aujourd'hui.