Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles soient la somme et le produit des racines de l'autre.


  • E

    Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles
    soient la somme et le produit des racines de l'autre.


  • N
    Modérateurs

    @elpythasow Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

    Mets en équation l'exercice.
    Première équation : a(x−b1)(x−b2)a(x-b_1)(x-b_2)a(xb1)(xb2)
    Deuxième équation :c(x−d1)(x−d2)c(x-d_1)(x-d_2)c(xd1)(xd2)
    Puis tu écris un système de quatre équations à 4 inconnues.
    x1+x2=y1x_1+x_2=y_1x1+x2=y1
    x1×x2=y2x_1\times x_2= y_2x1×x2=y2
    ....

    je te laisse poursuivre, indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.


  • E


  • N
    Modérateurs

    @elpythasow

    Ecris les deux autres équations en remplaçant xxx par yyy.


  • E

    @Noemi mais le problème c'est comment résoudre le système formé


  • N
    Modérateurs

    @elpythasow

    Utilise cette solution.
    Tu écris les relations
    x1+x2=−bax_1+x_2= -\dfrac{b}{a}x1+x2=ab
    x1×x2=cax_1\times x_2= \dfrac{c}{a}x1×x2=ac
    Tu écris l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0
    et tu écris l'autre équation à partir de x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0x2Sx+P=0.

    Vérifie cet exemple : 3x2−4x−7=03x^2-4x-7=03x24x7=0
    et 3x2+7x+4=03x^2+7x+4=03x2+7x+4=0


  • B

    Bonjour,

    Il me semble qu'il y a quelque chose qui ne va pas.

    L'énoncé est :

    Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles soient la somme et le produit des racines de l'autre .

    Comme ce sont des équations du second degré obligatoirement, il est inutile de trainer un coefficient pour les x²

    La première équation peut s'écrire : x² + ax + b = 0 (1)
    S = -a et P = b

    l'autre est x² + c.x + d = 0 (2)
    S' = -c et P' = d

    Et il faut que S et P soient solutions de (2)
    MAIS, il faut aussi que S' et P' soient solutions de (1)

    Parmi les paires d'équations solutions (il y en a quelques unes), j'en donne une :

    x2+1−52x−1+52=0x^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2} x - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 0x2+215x21+5=0
    et
    x2+x−1=0x^2 + x - 1= 0x2+x1=0

    La somme S=−1−52S = -\frac{1-\sqrt{5}}{2}S=215 et le produit P=−1+52P = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}P=21+5 de la 1ere équation sont bien solutions de la 2ème équation x² + x - 1 = 0

    Et la somme S′=−1S' = -1S=1 et P=−1P = -1P=1 de la 2ème équation sont bien solutions de la 1ere équation x2+1−52x−1+52=0x^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2} x - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 0x2+215x21+5=0

    ... Sauf si j'ai mal interprété l'énoncé.


  • B

    Bonjour,

    J'aurais fait ceci ...

    Soit l'équation du second degré : x² + a.x + b = 0 (1)

    La somme de ses racines est S = -a et le produit de ses racines est P = b

    La seconde équation doit avoir P et S comme solutions, elle peut donc s'écrire : (x - S)(x - P) = 0

    (x + a).(x - b) = 0
    x² + (a - b).x - ab = 0 (2)

    La somme de ses racines est S' = -(a-b) = (b-a) et le produit de ses racines est P' = -ab

    Et on doit avoir S' et P' qui sont solutions de (1), on obtient donc le système :

    (b-a)² + a*(b-a) + b = 0
    a²b² - a²b + b = 0

    ... qui peut sécrire après développement et simplification :

    b.(b - a + 1) = 0
    b.(a²b - a² + 1) = 0

    Ce système résolu donnera plusieurs couples (a , b) possibles qui correspondront en les introduisant dans (1) et (2) aux différentes solutions du problème posé.

    A comprendre, corriger si besoin est et à poursuivre pour trouver les différentes solutions possibles.


  • F
    Banni

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