Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles soient la somme et le produit des racines de l'autre.

Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles
soient la somme et le produit des racines de l'autre.

@elpythasow Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Mets en équation l'exercice.
Première équation : $a(x-b_1)(x-b_2)$
Deuxième équation : $c(x-d_1)(x-d_2)$
Puis tu écris un système de quatre équations à 4 inconnues.
$x_1+x_2=y_1$
$x1×x2=y2x_1\times x_2= y_2$
....

je te laisse poursuivre, indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.

@Noemi a dit dans Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles soient la somme et le produit des racines de l'autre. :

j'ai aucune idée l

@elpythasow

Ecris les deux autres équations en remplaçant $x$ par $y$ .

@Noemi mais le problème c'est comment résoudre le système formé

@elpythasow

Utilise cette solution.
Tu écris les relations
$x1+x2=−bax_1+x_2= -\dfrac{b}{a}$
$x1×x2=cax_1\times x_2= \dfrac{c}{a}$
Tu écris l'équation $ax^2+bx+c=0$
et tu écris l'autre équation à partir de $x^2-Sx+P=0$ .

Vérifie cet exemple : $3x^2-4x-7=0$
et $3x^2+7x+4=0$

Bonjour,

Il me semble qu'il y a quelque chose qui ne va pas.

L'énoncé est :

Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles soient la somme et le produit des racines de l'autre .

Comme ce sont des équations du second degré obligatoirement, il est inutile de trainer un coefficient pour les x²

La première équation peut s'écrire : x² + ax + b = 0 (1)
S = -a et P = b

l'autre est x² + c.x + d = 0 (2)
S' = -c et P' = d

Et il faut que S et P soient solutions de (2)
MAIS, il faut aussi que S' et P' soient solutions de (1)

Parmi les paires d'équations solutions (il y en a quelques unes), j'en donne une :

$x2+1−52x−1+52=0x^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2} x - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 0$
et
$x^2 + x - 1= 0$

La somme $-\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et le produit $-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ de la 1ere équation sont bien solutions de la 2ème équation x² + x - 1 = 0

Et la somme $S^{'} = - 1$ et $P = - 1$ de la 2ème équation sont bien solutions de la 1ere équation $x2+1−52x−1+52=0x^2 + \frac{1-\sqrt{5}}{2} x - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 0$

... Sauf si j'ai mal interprété l'énoncé.

Bonjour,

J'aurais fait ceci ...

Soit l'équation du second degré : x² + a.x + b = 0 (1)

La somme de ses racines est S = -a et le produit de ses racines est P = b

La seconde équation doit avoir P et S comme solutions, elle peut donc s'écrire : (x - S)(x - P) = 0

(x + a).(x - b) = 0
x² + (a - b).x - ab = 0 (2)

La somme de ses racines est S' = -(a-b) = (b-a) et le produit de ses racines est P' = -ab

Et on doit avoir S' et P' qui sont solutions de (1), on obtient donc le système :

(b-a)² + a*(b-a) + b = 0
a²b² - a²b + b = 0

... qui peut sécrire après développement et simplification :

b.(b - a + 1) = 0
b.(a²b - a² + 1) = 0

Ce système résolu donnera plusieurs couples (a , b) possibles qui correspondront en les introduisant dans (1) et (2) aux différentes solutions du problème posé.

A comprendre, corriger si besoin est et à poursuivre pour trouver les différentes solutions possibles.

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