Dm niveau prépa résolution inéquation (première année)

Prépa
Bonjour, j’ai un dm à rendre, avec une question. Qui m’embête un peu
Je dois montrer que x appartenant à (0,1) ouvert implique $x≥x\sqrt{x}\geq x$
J’ai essayé de faire une preuve par l’absurde en supposant $x<x\sqrt{x} \lt x$ , mais aussi une disjonction de cas (pour x=0, pour 0<x<=1…) mais je n’y arrive pas.
Quelqu’un aurait une piste pour m’aider ? Merci beaucoup

Inéquation mise en latex par la modération du forum.

@anomyuss Bonjour,

Elève au carré, soit à résoudre
$x−x2≥0x-x^2\geq 0$
en factorisant puis étude du signe.
....

Bonjour,

@anomyuss , peut-être un petit peu plus,

Si j'ai bien lu , $0<x<10\lt x\lt 1$ vu que tu parles d'un intervalle ouvert, mais la propriété est exacte sur l'intervalle fermé ...

Tu peux raisonner par équivalences logiques :
$x≥x\sqrt x \ge x$ <=> $(x)2≥x2(\sqrt x)^2 \ge x^2$
Cette élévation au carrée est régulière, car sur l'intervalle d'étude proposé, les deux membres de l'inégalité sont positifs. (donc pas de changement de sens le l'inégalité)

Ainsi :
$x≥x\sqrt x \ge x$ <=> $x≥x2x\ge x^2$ c'est la piste de @Noemi

En transposant :
$x≥x\sqrt x \ge x$ <=> $x−x2≥0x-x^2\ge 0$ <=> $x(1−x)≥0x(1-x)\ge 0$

Sur l'intervalle ouvert considéré, $x>0x\gt 0$ et $x−1>0x-1\gt 0$ donc
$x(x−1)>0x(x-1)\gt 0$ , donc à forciori $x(x−1)≥0x(x-1)\ge 0$

Vu que l'inégalité $x(x−1)≥0x(x-1)\ge 0$ est vraie, $x≥x\sqrt x \ge x$ est vraie.