Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Bonjour à tous,

voici l'énoncé d'unproblème sur lequel je suis penché dépuis quelques jours.
Je n'ai eu aucun problème à répondre aux question 1 et 2 par contre la 3° me pose difficulté.

Enoncé

Déterminer $lim⁡n→+∞(13)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{3})^n$
Déterminer $lim⁡n→+∞1+13+132+...13n\displaystyle \lim_{n\to+\infty} 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...\frac{1}{3^n}$
On considère la suite $u_n)$ définie sur $N\mathbb{N}$ par $u_n = 1 + x+...+ x^n$ où x est un nombre réel.
Déterminer la limite de $u_n)$ selon les valeurs de x.

Mon questionnement

Arf au moment où je m'apprète à poster cela une idée me vient ...
Je ne sais pas si ça aboutira .. Bon je poste malgré tout et je reviens après

@Chris21300 Bonjour,

Etudie les différents cas possibles pour $x$ : $\gt 1$ , $x = 1$ , $0<x<10\lt x \lt 1$ , ....

Bonsoir @Noemi,

oui c'est bien ce que j'ai tenté de faire ...
Bon du coup je préfère publier tout mon travail parce que je ne vois pas le rapport entre cette question 2 et la 3 ...

Question 1

Comme $0≤13≤10\le\frac{1}{3}\le1$ alors $lim⁡n→+∞(13)n=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty} (\frac{1}{3})^{n}=0$

Question 2
Soit $v_n)$ la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison $13\frac{1}{3}$ .
La somme $S_n$ des n premiers termes de cette suite sera donc :

$v0.1−qn+11−qS_n=\ v_0.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

et donc $3−13n2S_n= \frac{1-({\frac{1}{3})}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}\ \ =\ \frac{(1-\frac{1}{3^n}\times\frac{1}{3})\times3}{2}\ \ =\ \ \frac{3-(3\times\frac{1}{3^n}\times\frac{1}{3})}{2}\ \ =\ \ \frac{3-\frac{1}{3^n}}{2}$

Comme $lim⁡n→+∞13n=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{3^n}=0$
alors :
$lim⁡n→+∞Sn=32\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{3}{2}$

Question 3

$u_n=1+x+x²+...+x^n$

Si $x≥1x\geq1$ alors $lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ pas de difficulté
Si $x = 0$ alors $lim⁡n→+∞un=1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=1$ pas de difficulté

Par contre, j'ai beau me creuser les méninges je ne vois pas quel raisonnement mathématique je peux utiliser pour étudier le cas où $0<x<10\lt x\lt 1$ ainsi que le las où $\lt0$ .
Je suis à nouveau preneur d'un petit indice

Merci par avance

@Chris21300

La raison c'est $x$ , donc tu utilises la formule de la somme avec $x$ .

Bonjour @Noemi,

la formule de la somme serait donc :

$Sn=1−xn+11−xS_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ ?

Il faudrait donc exclure la valeur 1 (pour ne pas annuler le dénominateur) ? Pourtant $1+1²+1^3+...+1^n$ est tout à fait calculable ... Donc je dois avoir fait une erreur ?

@Chris21300 , bonjour,

Non, tu ne fais pas d'erreur.

La formule de $S_n$ que tu indiques est vraie avec la condition $x≠1x\ne 1$
Si une démonstration t'interesse, il y en a une ici :
https://www.youtube.com/watch?v=VGDHUAzglmA

Merci beaucoup @mtschoon,

je connaissais et je maitrisais (pour une fois ) cette démonstration .

Par contre j'ai un peu plus de mal pour étudier la limite de cette somme en fonction des valeurs de x.

Si $0<x<10\lt x\lt 1$ alors $x^{n+1}$ tend vers 0. Donc $1-x^{n+1}$ tend vers 0.
Concernant le dénominateur si x tend vers 1 alors le dénominateur tend vers O et donc la limite de la somme sera $+∞+\infty$ mais si x tend vers O alors la somme tend vers 1.
Si $x = 0$ alors la somme = 1
Si $x<0x\lt0$ la par contre il faut étudier 2 cas non ? Selon si n est pair ou impaire ?

@Chris21300

Si $0<x<10\lt x\lt 1$ , Pour la limite de $S_n$ en $+∞+\infty$ , le numérateur $1-x^{n+1}$ tend vers 1 et le dénominateur tend vers $1 - x$ , donc $S_n$ tend vers $11−x\dfrac{1}{1-x}$ .

Etudie ensuite les cas :
$−1<x<0-1\lt x\lt 0$ et
$x≤−1x\leq-1$

Merci @Noemi,

Pour $−1<x<0-1\lt x\lt 0$ , on a $x^{n+1}$ tend vers 0 donc le numérateur tend vers 1 et donc $lim⁡n→∞un=11−x\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n=\frac {1}{1-x}$ , mais du coup c'est la même chose que pour $0<x<10\lt x\lt 1$ ?

Pour $x<−1x\lt -1$ je pense qu'il faut distinguer selon que n sera pair ou impair ?

@Chris21300

Oui même résultat.
Pour $\lt -1$ , la suite est divergente et n'a donc pas de limite.

olala parfois j'ai honte des questions que je pose

Merci @Noemi

@Chris21300

Pas de problème, l'important est de comprendre.