Exponentielle et repère orthonormé

Dans un repère orthonormé O; i , j ,
on note :
C la courbe de la fonction
exponentielle et A (1 ; 0)
Tx la tangente à C en un point
Mx ∈ C d’abscisse x.
1 Soit u la fonction réelle définie par
u (x) = e2x + x − 1.
Ï Démontrer que l’équation
u (x) = 0 possède une unique
solution réelle a.
Ï En déduire le signe de u(x).
2 Existe-t-il un unique point M ∈ C qui rend AM minimale ?
3 Démontrer que Ta et (AMa) sont perpendiculaires.

Bonsoir j’ai vraiment besoin d’aide j’ai réussis la première question mais je n’ai aucune idée de quoi faire aux deux autres svp .

@db-diadie Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Etudie les variations de la fonction $u (x)$ .
La dérivée : $u'(x)= 2e^{2x}+1$

Bonjour,
2)

fonction exponentielle : f(x) = e^x

M(X ; e^X)
A(1 ; 0)

AM² = (X-1)² + (e^X - 0)²
AM² = e^(2X) - (X-1)²

AM est min pour la même valeur de X qui rend AM² mininimum

Il faut donc chercher la valeur de X qui rend f(X) = e^(2X) - (X-1)² minimum.

On évalue de signe de f'(X) quand X varie :
f'(X) = 2.e^(2X) - 2(X-1)
f'(X) = 2 * [e^(2X) - (X-1)]
f'(X) = 2.u(X)

Tu auras, par des réponses à la question (1), ce qu'il faut pour chercher la valeur a de X qui rend f'(X) minimum
... ce qui te permettra de répondre à la question 2.
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On aura :

Ma(a ; e^a) avec e^(2a) - (a-1) = 0
soit (e^(2a))/(a-1) = - 1 (1)

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3)

f'(x) = e^x
f(a) = e^a
f'(a) = e^a

Ta : y = (x-a).e^a + e^a
Ta : y = e^a * x + e^a*(1-a)

coeff directeur de Ta : m1 = e^a

Et avec Ma(a ; e^a) et A(1 ; 0)
Le coeff directeur de (AMa) est m2 = e^a/(a-1)

On a donc : m1 * m2 = e^a * e^a/(a-1) = e^(2a)/(a-1)
Et avec (1) : m1 * m2 = -1

--> Ta et (AMa) sont perpendiculaires
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Tout cela à comprendre et savoir refaire seul(e) ensuite, de la manière utilisée ou d'une autre manière.