Suite numérique arithmétique

Bonsoir,
Aidez moi avec cet exo ,
U0= 0 ; U1 = 1
¥ n € N* , aUn+1 = (a + 1)Un - Un-1 (NB: les n+1 et n-1 sont en indice )

Déterminer le réel a pour Que (Un) soit arithmétique

Bonjour,

Si Un est arithmétique de raison R, alors on a

$U_n = U_{n-1} + R$
et
$U(n+1) = U_{n-1} + 2R$

Tu remplaces U(n) et U(n+1) par ce qui a été écrit ci-dessus dans l'équation donnée : $a.U_{n+1} = (a+1).U_n - U_{n-1}$

... Et tu trouveras la valeur de a qui convient.

Essaie.

@Black-Jack bonsoir,
J’ai pas bien compris

@Black-Jack bonsoir
Traiter moi ça svp

@Zeïnab-Mahamadou
Voici le reste de lexo
Dans la suite de l’exercice on suppose que le réel a est différent 1
2. On pose Vn = Un - Un−1 ¥ n € N*
a. Montrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
b. Démonter que pour tout entier naturel non nul , on a : Un= V1 +…………………..+Vn
c. Déduire Un enf fonction de n

@Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

Comme déjà indiqué, si la suite est arithmétique :
$U_{n+1}=U_n+r$ (1) et
$U_n= U_{n-1}+r$ (2)
Si tu utilises la relation (1) :
La relation $aU_{n+1}=(a+1)U_n-U_{n-1}$
devient
$a(U_n+r)=(a+1)U_n-U_{n-1}$
en développant et simplifiant
$ar=U_n-U_{n+1}$
en utilisant la relation (2)
$a r = r$

Je te laisse poursuivre.

Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.

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@Zeïnab-Mahamadou bonsoir
Je n’ai aucune idée de comment continuer, comme on a pas donné la valeur de Un ne celle de Un+1
On a juste donné Uo= 0 et U1= 1
Et juste censé tirer le a Oubien

@Zeïnab-Mahamadou
Et la encore , la question 2 je suis censée exprimer Vn+1 en fonction de Vn pour monter que c’est une S.G

@Noemi j utiliser les deux relations où je choisi une?

@Zeïnab-Mahamadou

On obtient : $a r = r$
soit $a r - r = 0$
Tu factorises et tu déduis la valeur de $a$ .

Pour la question 2;
$aU_{n+1}=aU_n+U_n-U_{n-1}$
soit :
$aU_{n+1}-aU_n=U_n-U_{n-1}$
Utilise ensuite la relation :
$V_n=U_n-U_{n-1}$

@Noemi bonsoir ,
Merci j’ai compris la première question donc

r(a-1)=0 => a-1= 0 => a = 1

@Zeïnab-Mahamadou

Passe à la question 2).

@Noemi
On trouve Vn= 1/a (Un-Un-1)

@Zeïnab-Mahamadou le b.) et le C) svp

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Suite numérique arithmétique :

@Noemi
On trouve Vn= 1/a (Un-Un-1)
Bonjour,

2 a)

V(n) = U(n) - U(n-1)
V(n+1) = U(n+1) - U(n) (1)

Or on sait que : a.U(n+1) = (a + 1).U(n) - U(n-1)
a.U(n+1) = a U(n) + U(n) - U(n-1)
a.(U(n+1) - U(n)) = U(n) - U(n-1)
(U(n+1) - U(n)) = (1/a)*(U(n) - U(n-1))

cela remis dans (1) --->
V(n+1) = (1/a)*(U(n) - U(n-1))

V(n+1) = (1/a) * V(n)

Et donc Vn est une suite géométrique de raison 1/a et de premier terme V(1) = U(1) - U(0) = 1

V(n) = (1/a)^(n-1)
'''''''''
2b)
V1 = U(1) - U(0)
V2 = U(2) - U(1)
V3 = U(3) - U(2)
...
V(n) = U(n) - U(n-1)

On fait la somme des lignes précédente et on simplifie ...
On trouve : V1 + V2 + V3 + ... + V(n) = -U(0) + U(n) (et U(0) = 0)
V1 + V2 + V3 + ... + V(n) = U(n)
''''''''''
2c)
U(n) = V1 + V2 + V3 + ... + V(n)
U(n) = 1 + (1/a) + (1/a)² + ... + (1/a)^(n-1)
U(n) est la somme de n termes en progression géométrique de raison 1/a et de premier terme = 1

Et donc U(n) = ...

@Black-Jack bonsoir,
Merci beaucoup