slt voila mon problème sur les limites

slt voila mon problème prouver que lim _x----a f(x)=l avec l different de 0 alors il existe sigma tel que |x-a|<\sigma ce qui implique que f(x) et l ont le même signe.

Enoncé recopié par la modération du site.

@nassima Bonsoir,

Indique un titre significatif et écris l'énoncé dans la partie sujet.

Bonjour,

@nassima , comme te l'a dit @Noemi (modératrice) ta question n'est pas écrite correctement.
Tu dois donner un titre adapté à la question , du genre "propriété relative au signe de la limite d'une fonction" et écrire ta question dans le cadre texte.

Je copie ta question au bon endroit :
prouver que lim _x----a f(x)=l avec l different de 0 alors il existe sigma tel que |x-a|<\sigma ce qui implique que f(x) et l ont le meme signe

@nassima , une piste possible pour t'aider à répondre.

Je n'utilise pas la lettre "sigma" car elle est fréquemment utilisée pour le terme "somme".
J'utilise les notations usuelles.

Par définition :
$∣f(x)−l∣<ϵ\forall ^\ \epsilon \gt 0 \ \ \exist\ \alpha \gt 0 /\ |x-a|\lt \alpha \implies \ |f(x)-l|\lt \epsilon$

$l≠0l\ne 0$
Tu étudies séparément le cas $l>0l\gt 0$ et le cas $l<0l\lt 0$

Je te traite le cas $l>0\boxed{l\gt 0}$
Comme écrit, la définition de limite s'applique à tout $ϵ>0\epsilon\gt 0$

Tu l'appliques à une valeur adaptée à la question.
Soit $ϵ=l2\epsilon=\dfrac{l}{2}$ , par exemple

Tu peux donc écrire , pour $ϵ=l2\epsilon=\dfrac{l}{2}$
$∣f(x)−l∣<l2\exist\ \alpha \gt 0 /\ |x-a|\lt \alpha \implies |f(x)-l|\lt \dfrac{l}{2}$

$−l2<f(x)−l<l2|f(x)-l|\lt \dfrac{l}{2}\iff -\dfrac{l}{2}\lt f(x)-l\lt \dfrac{l}{2}$

Or :
$f(x)>l2f(x)-l\gt -\dfrac{l}{2} \iff f(x)\gt l-\dfrac{l}{2} \iff f(x)\gt \dfrac{l}{2}$

Vu que $l>0l\gt 0$ , à forciori $l2>0\dfrac{l}{2}\gt 0$ donc $f(x)>0f(x)\gt 0$

Conclusion pour $l>0\boxed{l\gt 0}$
Pour $x∈]a−α,a+α[x\in ]a-\alpha,a+\alpha[$ , $f(x)>0\boxed{f(x)\gt 0}$

Regarde cela de près et étudies le cas $l<0\boxed{l\lt 0}$

Reposte si besoin.

@mtschoon merci bcp juste une question pourquoi l/2!!

@Noemi déjà pour l>0 on a l/2<f(x)<3l/2
Donc f est positive pour x dans ....
Et pour l<0 on a
-3l/2<f(x)<-l/2 donc elle est négative pour x .....

@nassima

@mtschoon merci bcp juste une question pourquoi l/2!!

je vais te répondre que j'ai choisi $l2\dfrac{l}{2}$ comme valeur de $ϵ\epsilon$ , car après un peu de réflexion, j'ai "vu"que cette valeur convenait à la démonstration.
Tu peux en choisir d'autres !

Pour $l<0l\lt 0$ , pour une démonstration correcte, il faut que tu indiques d'abord qu'elle valeur tu as choisie pour $ϵ\epsilon$ , pour appliquer ensuite la définition de limite, faire le calcul et tirer la conclusion.