Distance d'un point à une courbe

Bonjour;

je m'arrache le peu de cheveux qu'il me reste sur l'ultime question d'un exercice qui pourtant ne me semble pas compliqué.
Voici l'énoncé :

PARTIE A

Soit $f(x)=x-e^{-2x}$
Soit $Γ\Gamma$ sa courbe représentative.
1 déterminer ses limites en l'infini (pas de difficulté)
2 Sens de variation de f (pas de difficulté)
3 Montrer qu'il existe un unique $α\alpha$ tel que $f(α)=0f(\alpha)=0$ (pas de difficulté)
4 Signe de f suivant valeurs de x (pas de difficulté)

PARTIE B

Soit C la courbe de $g(x)=e^{-x}$
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l'origine O du repère orthonormé et d'étudier la tangente à C en ce point.

Pour tout réel $t$ ; on note M le point de coordonnées $t ; e^{-t})$ de C.
On considère $\sqrt {t²+e^{-2t}}$ la fonction qui a $t$ associe la longueur OM.

On admet que $h′(t)=f(t)t²+e−2th'(t)=\frac{f(t)}{\sqrt {t²+e^{-2t}}}$

1 Démontrer que $A(α;e−α)A(\alpha;e^{-\alpha})$ est le point de la courbe C pour lequel OM est minimal. (pas de difficulté)

2a Soit T la tangente en A à C
Exprimez en fonction de $α\alpha$ le coef directeur de T

2b Démontrez que (OA) et T sont perpendiculaires.

MES REPONSES (uniquement pour 2a et 2b

2a Soit $m$ coef directeur de T . J'obtiens $m=−e−αm=-e^{-\alpha}$ (a priori sans difficulté donc je ne détaille pas)

2b Si 2 droites sont perpendiculaires, alors le produit de leur coef directeur = -1

En calculant $n$ le coef directeur de (OA) j'obtient $e−αα\frac{e^{-\alpha}}{\alpha}$

Et malheureusement en calculant $m . n$ je n'obtiens pas -1

Pourriez vous m'indiquer où j'ai commis ma coquille ???
Je regarderai cela demain car là je dois partir travailler
Merci par avance

Bonjour,

M(t ; e^-t)
O(0 ; 0)

OM² = t² + e^(-2t)

OM sera minimum pour la même valeur de T que OM² sera minimum.

(OM²)' = 2t - 2.e^(-2t)

OM² est minimum (et donc OM aussi) pour = 0, soit pour 2t - 2.e^(-2t) = 0 (on peut montrer que c'est bien un minimum en étudiant le signe de (OM²)')

Min de OM pour t - e^(-2t) = 0, soit e^(-2t)/t = 1 (1)

Soit A(alpha; e^-alpha)

Le coeff directeur de OA est m1 = (e^(-alpha))/alpha

Le coeff directeur de T est m2 = -e^(-alpha)

m1 * m2 = -e^(-alpha) * (e^(-alpha))/alpha

m1 * m2 = - e^(-2alpha))/alpha

MAIS, OM minimal impose que alpha = t (voir (1)) --->

Et donc m1 * m2 = - e^(-2t))/t = -1

Ce qui montre que (OA) et T sont perpendiculaires.
'''''''''''''''
Remarque :

Si on ne comprend pas que OA est minimum pour la même valeur de t qui rend OA² minimum...
alors, on peut utiliser le f(t) de l'énoncé, qui est le même dans la partie A et B de l'exercice ... et en utilisant le h'(t) donné, montrer que le min de OM correspond à la valeur de t qui donne f(t) = 0 ... on retombe sur ce que j'ai fait ci-dessus (sans utiliser la partie A (que je n'avais pas lue au début).

Bonjour @Black-Jack et merci à nouveau pour le temps consacré à mon aide ...
Ceci-dit, malheureusement et sans vouloir te froisser, sauf erreur de ma part, tout ce que tu as écrit je l'ai moi même écrit et là dessus je n'avais pas de difficulté .. Tout comme toi j'ai trouvé que le 1er coef directeur était de $−e−α-e^{-\alpha}$ et le deuxième de $e−αα\frac{e^{-\alpha}}{\alpha}$ .

Ma seule difficulté, et là est le côté frustrant puisque c'est le point final de l'exercice que je n'arrive pas à conclure que le produit des 2 coef directeurs fasse -1.
Littéralement ce produit donne (en remplaçant $α\alpha$ par $t$ : $−e−2tt-\frac{e^{-2t}}{t}$ .

Pourquoi, ou plutôt comment peut on conclure que ce quotient fasse -1 ?

Je te remercie à nouveau pour l'éclaircissement que tu pourras me faire sur ce point

@Chris21300 a dit dans Distance d'un point à une courbe :

Pourquoi, ou plutôt comment peut on conclure que ce quotient fasse -1

Bonjour,

Si tu avais lu tout mon message et l'avais compris, tu aurais la réponse.

Ta réponse est incomplète, "cela fait -1" si et seulement si ton alpha correspond bien à un OM minimal.
Et pour que ce soit le cas, il faut que ton "alpha" soit égal au "t" qui rend h(t) minimal ... Or tu n'as pas déterminé ce "t".

Si tu lis attentivement ma réponse, j'ai comblé ce manquement et déterminé une relation avec "t" pour que OM soit minimum.

Tu dois donc, à la fin de tes calculs, remplacer ton "alpha" par "t" en tenant compte de la relation qui donne t pour que OM soit minimal. Cela signifie que le point A est identique au point M (celui pour lequel la distance OM est minimale).

... Et en le faisant, on trouve bien que les droites (OA) et T sont perpendiculaires

Je suis sincèrement désolé @Black-Jack mais je n'y arrive pas

La valeur de $α\alpha$ est environ 0,43 mais en replaçant t par cette valeur dans le produit des coef directeurs je n'arrive toujours pas à -1...
Je ne dois pas comprendre quelque chose dans ce que tu me dis .. ça commence à m'agacer grrrr...

Peux-tu, et ce n'est vraiment pas mon habitude de demander celà, me donner la réponse car là ça veut pas dans me petite tête

@Chris21300 Bonjour,

Comme indiqué, tu dois prendre en compte le fait que le point A est le point de la courbe C pour lequel OM est minimal. Le résultat de la partie A est $f(α)=0f(\alpha)=0$ soit $α−e−2α=0\alpha-e^{-2\alpha}=0$ , soit la relation $e−2α=αe^{-2\alpha}=\alpha$ à utiliser dans le calcul de $m . n$ .

@Chris21300

Mais, je t'ai donné la réponse.
Elle est complètement incluse dans ma première intervention.
J'ai démontré que pour que OM soit minimum, alpha devait prendre la valeur de t ... et que ceci menait au fait que le produit des coeff directeurs de (OA) (donc OM) et de OM valait -1.

On n'a pas besoin de calculer la valeur numérique de t pour y arriver, bien que si on le fait, on trouvera effectivement que e^-alpha * e^-alpha/alpha = -1

Tu as calculé alpha $≃\simeq$ 0,43, ce qui donne :

e^-alpha * e^-alpha/alpha $≃\simeq$ e^-0,43 * e^-0,43/0,43 =- 0,984 $s i m e q$ -1$
On n'a pas exactement -1 car alpha n'est pas exactement 0,43

Ce qui doit être fait (et qui est fait dans ma première intervention) est de remplacer alpha par t alors qu'il a été démontré que e^(-2t)/t = 1

Donc, ton : m * n = - e^-alpha * e^-alpha/alpha
devient (pour que OM soit minimum) :
m * n = - e^-t * e^-t/t = - e^(-2t)/t

... et il a été démontré que (pour que OM soit minimum) on avait la relation e^(-2t)/t = 1

Et donc, on arrive à m * n = - e^(-2t)/t = -1

OK ?

Merci @Black-Jack et merci @Noemi ,

je pense que je vais arrêter pour aujourd'hui car je commence à m'agacer sur qqch qui a priori est très simple à comprendre.
Je vais donc me mettre au repos puis tour reprendre à tête reposée avec l'aide de vos commentaires et je reviendrai mardi pour vous annoncer que bien évidemment c'était simple ... Mais pour aujourd'hui plus rien ne rentre

Merci à nouveau pour votre aide ...
A mardi ... pour les bonnes nouvelles

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Alleluia @Black-Jack !

J'avais réellement besoin de repos ...
La nuit a porté conseil et j'ai enfin trouvé où je buguais !!!!!

Je ne comprenais pas comment on faisait le lien entre $α−e(−2α)=0\alpha-e^{(-2\alpha)}=0$ et $1=−e−2αα1=-\frac{e^{-2\alpha}}{\alpha}$ .
Il suffisait de mettre un terme de chaque coté du = puis de diviser par $α\alpha$ ...
Quel benet je peux être parfois

En tout cas un énorme merci à toi ainsi qu'à @Noemi !

Par contre, je suis étonné ... Il n'y a que toi et Naomi qui aidez les gens ici ou vous m'avez pris en pitié et m'assurez un accompagnement personnalisé ?

Merci encore et j'imagine à très vite