Calcul de limites limite limite
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Zeïnab Mahamadou dernière édition par
Bonsoir, aidez moi svp
F(x)= ( x/(x-1) ) + ln( |x-1| )
Comment calculer la lim de F(x) quand x——> 1J’y arrive pas
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Il faut distinguer la limite pour x→1−x \to 1^-x→1− de la la limite pour x→1+x \to 1^+x→1+
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limx→1−F(x)=−∞−∞=−∞lim_{x\to1^-} F(x) = -\infty - \infty = -\infty limx→1−F(x)=−∞−∞=−∞
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limx→1+F(x)=+∞−∞\lim_{x\to1^+} F(x) = +\infty - \infty limx→1+F(x)=+∞−∞ indétermination qu'il faut lever.
x/(x-1) + ln|x+1| = (x + (x-1) ln|x-1|)/(x-1)
limx→1+ F(x)=limx→1+ (1x−1)∗(limx→1+ (x)+limx→1+((x−1).ln∣x−1∣)\lim_{x\to1^+}\ F(x) = \lim_{x\to1^+}\ (\frac{1}{x-1}) * (\lim_{x\to 1^+}\ (x) + lim_{x\to 1^+} ((x-1).ln|x-1|) limx→1+ F(x)=limx→1+ (x−11)∗(limx→1+ (x)+limx→1+((x−1).ln∣x−1∣)
=limx→1+(1x−1)∗(1+limx→1+(x−1).ln∣x−1∣)=\lim_{x\to 1^+} (\frac{1}{x-1}) * (1 + \lim_{x\to 1^+} (x-1).ln|x-1|) =limx→1+(x−11)∗(1+limx→1+(x−1).ln∣x−1∣) (1)
Attaquons limx→1+((x−1).ln∣x−1∣)\lim_{x\to 1^+}( (x-1).ln|x-1|)limx→1+((x−1).ln∣x−1∣)
Posons u = x-1, on a alors :
limx→1+((x−1).ln∣x−1)∣=limu→0+(u.ln(u))\lim_{x\to 1^+} ((x-1).ln|x-1)| = lim_{u\to 0^+} (u.ln(u) )limx→1+((x−1).ln∣x−1)∣=limu→0+(u.ln(u))
=limu→0+ln(u)1u= lim_{u\to 0^+} \frac{ln(u)}{\frac{1}{u}}=limu→0+u1ln(u) indétermination du type oo/oo qu'on peut par exemple lever par la règle de Lhospital.
=limu→0+(1u−1u2)=limu→0+(−u)=0= lim_{u\to 0^+} (\frac{\frac{1}{u}}{-\frac{1}{u^2}}) = lim_{u\to 0^+} (-u) = 0=limu→0+(−u21u1)=limu→0+(−u)=0
Ceci remis dans (1) donne :
limx→1+F(x)=limx→1+(1x−1)=10+=+∞\lim_{x\to1^+} F(x) = lim_{x\to 1^+} (\frac{1}{x-1}) = \frac{1}{0+} = +\infty limx→1+F(x)=limx→1+(x−11)=0+1=+∞
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@Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,
Autre piste.
Utilise le changement de variable X=x−1X = x-1X=x−1,
Soit F(x)=X+1X+ln∣X∣F(x)= \dfrac{X+1}{X} +ln\mid X\midF(x)=XX+1+ln∣X∣
puis
F(x)=X+1+Xln∣X∣XF(x)=\dfrac{X+1+Xln\mid X\mid}{X}F(x)=XX+1+Xln∣X∣
puis calcule la limite quand XXX tend vers 0+0^+0+ et 0−0^-0−
