Calcul de limites limite limite

[MMounah]

Bonsoir, aidez moi svp
F(x)= ( x/(x-1) ) + ln( |x-1| )
Comment calculer la lim de F(x) quand x——> 1

J’y arrive passtrikethrough text

[Black-Jack]

Bonjour,

Il faut distinguer la limite pour $x\to 1^{-}$ de la la limite pour $x\to 1^{+}$

1. $li{m}_{x\to 1^{-}}F(x)=-\infty -\infty =-\infty$

2. ${\lim }_{x\to 1^{+}}F(x)=+\infty -\infty$ indétermination qu'il faut lever.

x/(x-1) + ln|x+1| = (x + (x-1) ln|x-1|)/(x-1)

${\lim }_{x\to 1^{+}}F(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(\frac{1}{x-1})\ast ({\lim }_{x\to 1^{+}}(x)+li{m}_{x\to 1^{+}}((x-1).ln|x-1|)$

$={\lim }_{x\to 1^{+}}(\frac{1}{x-1})\ast (1+{\lim }_{x\to 1^{+}}(x-1).ln|x-1|)$ (1)

Attaquons ${\lim }_{x\to 1^{+}}((x-1).ln|x-1|)$

Posons u = x-1, on a alors :

${\lim }_{x\to 1^{+}}((x-1).ln|x-1)|=li{m}_{u\to 0^{+}}(u.ln(u))$

$=li{m}_{u\to 0^{+}}\frac{ln(u)}{\frac{1}{u}}$ indétermination du type oo/oo qu'on peut par exemple lever par la règle de Lhospital.

$=li{m}_{u\to 0^{+}}(\frac{\frac{1}{u}}{-\frac{1}{u^2}})=li{m}_{u\to 0^{+}}(-u)=0$

Ceci remis dans (1) donne :

${\lim }_{x\to 1^{+}}F(x)=li{m}_{x\to 1^{+}}(\frac{1}{x-1})=\frac{1}{0+}=+\infty$

[Noemi]

@Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

Autre piste.
Utilise le changement de variable $X=x-1$,
Soit $F(x)=\frac{X+1}{X}+ln\mid X\mid$
puis
$F(x)=\frac{X+1+Xln\mid X\mid }{X}$
puis calcule la limite quand $X$ tend vers $0^{+}$ et $0^{-}$