Dénombrement : loterie

Bonjour à tous,

voici l'énoncé du jour :

On dispose de 2 urnes. La 1ère contient 49 boules bleues numérotées de 1 à 49, la 2° contient 10 boules rouges numérotées de 1 à 10.
On tire successivement et sans remise 5 boules de la 1ère puis une boule de la 2°. Un tirage est donc constitué de 6 numéros.

1. Combien de tirages possibles ?
2. La loterie propose le tableau de gains suivant :

**Bons numéros ////////////////Gains (en euros)
 5 bleus et 1 rouge    ///////////                5'000'000
 5 bleus                       ///////////////////////    100'000
 4 bleus 1 rouge //////////////1000
4 bleus ////////////////////////500

Combien de tirages permettent de gagner :

a. 5'000'000€
b. 100'000€
c. 1000€

Mes réponses et réflexions

Je dispose de la correction (sans explications) de cet exercice mais je ne comprends pas certaines choses.

Le 1. ne me semblait pas compliqué S'agissant d'un tirage successif sans remise, je suis parti sur un arrangement de 5 sur 59 pour l'urne 1 et d'un arrangement de 1 parmi 10 pour l'urne 2. Puis j'appliquais le principe multiplicatif et j'obtenais donc : $A101A_{49}^5\times\ A_{10}^1$ =2'288'260'800 combinaisons possibles ... Bon j'en ai tout de suite déduit que je m'étais trompé ... J'ai donc regardé la solution et là le résultat plus réaliste me montre qu'il a été obtenu à partir d'une combinaison ... Je ne comprends pas ... Dans les cours que j'ai pu trouver, il est spécifié que quand on procède à un tirage successif et sans remise, il faut utiliser les arrangements ... L'énoncé dit pourtant qu'il s'agit d'un tel tirage ... Alors ... Pourquoi ne doit-on pas utiliser les arrangements dans ce cas ?

Je vous remercie par avance de vos remarques dans l'attente de vous lire, je m'atauqe à la question 2

@Chris21300 Bonjour,

Pour la question 1, regarde ce cours : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/combinaison.html

Pour la question 2, tu détermines le nombre de tirages possibles avec le nombre de bons numéros indiqués.
Pour a. c'est un seul tirage.
Pour b. Combien y a t-il de boule rouge non gagnante ?
...

Bonjour @Noemi et merci pour ta réponse,

j'avais bien compris le cours .. Mais dans l'énoncé il est spécifié tirage SUCCESSIF de 5 boules parmi 49 ... Il me semblait que, quand on employait le terme successif il y avait une notion d'ordre (ce qui dans le cas du loto n'est pourtant pas important) ... Du coup je pensais que pour cet exercice on devait prendre en considération cet adjectif et le traduire en langage mathématique et donc faire intervenir un arrangement ... Je me demande vraiment pourquoi ils ont formulé "successif" si c'est pour ne pas le prendre en compte ... grrrrr

Pour la question 2 je me pencherai dessus au cours du we et si je n'y arrive pas je regarderai ce que tu m'as conseillé de faire (mais je préfère déja chercher tout seul) ...

Merci encore

@Chris21300

Le terme successif est utilisé car on pourrait avoir un tirage simultané. Ici l'énoncé n'indique pas la notion d'ordre donc on ne prend pas en compte la place de chaque boule tirée.

D'accord @Noemi ... J'associais obligatoirement successif avec ordre ...

Bon par contre pour la question 2 je ne comprends vraiment rien ... Et la correction du livre ne m'apporte pas la moindre aide ...

Correction du livre

a. Un seul tirage possible

b.Choisir un tirage contenant les 5 bleues avec les bons numéros revient à choisir la boule restante parmi 10 donc une combinaison de 1 parmi 10 soit 10 tirages possibles.

c. Choisir un tirage contenant 4 bleues et LA rouge avec les bons numéros revient à choisir les 4 bleues portant les bons numéros parmi 5 et la bleue restante parmi 44 . Il y a donc 5C4 x 44C1 = 220 tirages possibles.

Mes questions et réactions

En fait je ne comprends rien à la correction donnée...

Pour la a. Pourquoi y aurait il un seul tirage ?
des exemples de tirages possibles : B1B2B3B4B5R1
un autre : B49B30B15B7B1R10 et ainsi de suite ... Donc je ne comprends pas

Pour la b.
Les 5 bleues avec les BONS numéros ? Comment ça les bons numéros ? Quels nulméros ?
Bon bref je ne comprends vraiment rien à cet exercice .. Je me demande même si je comprends l'énoncé

@Chris21300

Oui c'est un problème de compréhension de l'énoncé. C'est le loto. Chaque joueur complète une grille en indiquant au moins 5 numéros sur une grille comprenant les numéros de 1 à 49 et au moins un numéro sur une autre grille comprenant les numéros de 1 à 10.

Un tirage à lieu, il comprend 5 numéros parmi les 49 numéros allant de 1 à 49 et 1 numéro parmi les 10 numéros allant de 1 à 10.
Exemple : 5 ; 12 ; 34 ; 45; 49 et 7
Ce tirage est unique d'ou la réponse pour a.
Pour b.
Avec le même tirage, sont gagnants :
5 ; 12 ; 34 ; 45 ; 49 et un numéro parmi 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10, donc ...

J'espère avoir été clair.

Je te laisse poursuivre, n'hésite pas à indiquer tes réponses ou questions.

je suis vraiment navré @Noemi mais je n'ai toujours pas compris ...

Pourquoi n'y a t il qu'un tirage possible pour la a. .?

Ces tirages là sont ils impossibles ? :

B1B3B5B9B44 R2
B5B9B30B44B49 R 10
B7B8B20B30B40 R 7

Et s'ils sont possibles alors il y a plus d'un tirage possible non ?

Bon je me doute bien que j'ai tords, mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi

(ce domaine des dénombrements m'ont apporté bien des soucis quand j'ai passé mon bac il y a une trentaine d'années mais je vois que ça n'a pas progressé depuis grrrr )

@Chris21300

Imagine que c'est toi qui fait un tirage. Dans un sac de 49 boules tu tires successivement 5 boules et tu notes le résultat. Combien as tu de résultat à ton tirage ?

Il y a de multiple tirages possibles mais un seul est gagnant.

ce serait donc un tirage simultané de 5 parmi 49 ? Donc une combinaison de 5 parmi 49 donc 1'906'884 ?

@Chris21300

Oui c'est bien le nombre de tirages possibles de 5 numéros parmi 49. Tu multiplies par 10 ce nombre si tu prends en compte les 10 boules rouges.

Oui _a j'avais bien compris le calcul de tirages possibles ... Principe multiplicatif ...
C'est la suite que je ne comprends pas

@Chris21300

Parmi les tirages possibles, combien de fois puis-je avoir le tirage :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et (1) ?

@désolé pour le retard de réponse @Noemi... repas de famille oblige

et bien je dirais, vu que l'ordre ne compte pas, un seul tirage possible ?

@Chris21300

Oui, un seul tirage.

heu oui et alors ?
Vous avez proposé le tirage 1-2-3-4-5 -(1) mais on aurait très bien pu avoir le tirage 8-9-10-11-12(1) non ?

@Chris21300

Il faut comprendre que c'est une loterie et que des tirages sont gagnants et d'autre perdants.
Imaginons un math de foot, volley ou autre sport entre deux équipes A et B.
Trois résultats sont possibles :
Soit l'équipe A gagne,
Soit l'équipe B gagne,
Soit les équipes font match nul.
Mais à l'issue du math, une seule de ses réponses est vérifiée.

Bonjour @Noemi et merci pour ta patience ...
Bon par contre je n'ai toujours pas compris donc je vais abandonner cet exercice pour y revenir à tête reposé dans quelque temps car là j'avoue avoir un blocage total mais il n'y a pas trop de surprise car les dénombrements étaient vraiment ma bête noire quand j'ai fait mes études

Merci en tout cas à nouveau pour ton implication et je n'en doute pas à très bientôt

@Chris21300

Ok, A+