Fonctions. numériques

Bonsoir
On considère la fonction f de la variable réelle w. Définie par : f(x) = { e^(1/lnx) ; x # 0 et x # 1
{ 1 ; si x = 0
{ 0; si x = 1
NB: (# = différent)

Étudier la continuité de f en 0 et en 1 .
Et quel est l’ensemble de définition svp

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Indique tes éléments de réponse.

Calcule la limite lorsque $x$ tend vers 0 et vers 1.

@Noemi L’ensemble de définition c’est R ?
La limite je ne sais pas quel f(x) utiliser ?

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Fonctions. numériques :

@Noemi L’ensemble de définition c’est R ?
La limite je ne sais pas quel f(x) utiliser ?

Bonjour,

NON

@Zeïnab-Mahamadou

Utilise $e^{\frac{1}{ln(x)}}$
$l n (x)$ est définie si $x$ est .....

@Black-Jack bonsoir
C’est quoi l’ensemble de définition alors

@Noemi bonsoir
Si quoi ?
J’ai rien compris
Je dois utiliser à limite à quand x tend vers 0+ et 0-?

Si ouii comment ? Sinon expliquez moi

@Zeïnab-Mahamadou

Regarde ce cours : https://www.mathforu.com/terminale-s/fonctions-exponentielles-et-logarithme-pour-terminale-s/

@Noemi merci

@Zeïnab-Mahamadou
Df= ]o;1[U]1;+oo[
f est n’est pas continue en 0 et n’est pas continue en 1 ? C’est ça ?

@Zeïnab-Mahamadou

Oui pour le domaine de définition.
Pour la continuité, as-tu calculé les limites ?

@Zeïnab-Mahamadou
2. Étudier la derivabilité de f en 0 et 1 . Interpréter géométriquement
3.Étudier les variations de f et tracer sa courbe (C) dans un plan muni d’un repère orthonormé (O;i; j)
4.A l’aide de la question précédente, représenter l’ensemble des points M(X;Y) tels que : ln|x| x ln|y| = 1

@Noemi
Oui la première = 1 et la 2eme =+oo ?
Et
Comment écrire en latex svp

@Zeïnab-Mahamadou pour la dérivablité
lim [(e^1/lnx )-1]/x ? Décortiquer le moii svp
x—>0

@Zeïnab-Mahamadou
@Noemi @Black-Jack répondez svp

@Zeïnab-Mahamadou

Si tu souhaites t'initier au Latex, tu peux consulter ici :
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progress

Pour la limite, utilise la règle de l'Hospital.

@Noemi je parle de cette question
Ensuite pour question 3)
la dérivée de e^(1/lnx) c’est - [e^1/lnx] /[x(lnx)^2] ? Si oui son signe

@Noemi et c’est quoii la règle de L’hôpital ?

@Noemi a dit dans Fonctions. numériques :

@Zeïnab-Mahamadou

Oui pour le domaine de définition.
Pour la continuité, as-tu calculé les limites ?

Bonjour Noemi,

Zeïnab Mahamadou a ecrit : Df= ]0;1[U]1;+oo[

Je pense qu'on ne peut pas exclure 0 du domaine tant qu'on n'a pas
vérifié si lim(x-->0+) e^(1/ln(x)) était ou non égale à f(0) = 1 (donné dans l'énoncé)

Si on trouve bien lim(x-->0+) e^(1/ln(x)) = 1
comme l'énoncé précise que f(0) = 1, je pense que 0 doit être compris dans Df

L'ordre des questions de l'énoncé (d'abord étudier la continuité en 0 et en 1 et ensuite déterminer Df) est impératif.

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Fonctions. numériques :

@Noemi et c’est quoii la règle de L’hôpital ?

Bonjour,

La règle de Lhospital n'est pas, je pense , au programme de Terminale.
Sauf si cela a changé.

@Black-bonsoir
On a pas demandé Df dans l’énoncé, j’ai juste posé la question pour savoir

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Fonctions. numériques :

@Black-bonsoir
On a pas demandé Df dans l’énoncé, j’ai juste posé la question pour savoir

Bonjour,

OK, mais si tu l'as demandé; je présume que tu es intéressé par le sujet.

Et je pense que le Df que tu as indiqué , soit : Df= ]0;1[U]1;+oo[ n'est pas correct.

Pour corriger, il faut commencer par étudier la continuité de f en 0 et en 1 .

@Zeïnab-Mahamadou

Le domaine de définition indiquée est celui de la fonction : $e^{\frac{1}{ln(x)}}$
Pour la limite, utilise la notion de nombre dérivée.

@Black-Jack bonsoir
Donc en gros Df = [0;+oo[
Je m’explique Df=]0;1[U]1;+oo[ U {0} U {1}
= [0;+oo[

@Black-Jack bonsoir
f est continue en 0 à droite et n’est pas continue en 1

@Zeïnab-Mahamadou alors la dernière question 4.) je fais comment svp ?

@Black-Jack la dérivablité en 0 la çà. Donc combien svp détailler moi.

Je suis sur cet exo depuis le matin et j’ai n’ai eu aucun résultat concret jusque là

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Fonctions. numériques :

@Black-Jack bonsoir
f est continue en 0 à droite et n’est pas continue en 1

Bonjour,

Ca c'est pour moi correct.

Rebonjour,

f'(x) = -[e^(1/lnx)] /[x(lnx)^2]

f'(x) --> -oo pour x --> 0+
f'(x) < 0 pour x dans ]0 1[ --> f est décroissante.
lim(x--> +1-) f'(x) = 0 (et f(x) --> 0)
lim(x--> +1+) f'(x) = -oo (et f(x) --> +oo)
Il y a donc discontinuité de f pour x = 1
f'(x) < 0 pour x > 1 --> f est décroissante

dessiner graphique ...

Si j'interprète bien la question. (ce qui n'est pas sur).

M(X ; Y)
X = x et Y = e^(1/lnx)
ln|y| = ln|e^(1/lnx)|

Pour x dans ]0 ; 1[ ln(x) < 0 ln|y| = 1/ln(x)
ln|x|.ln|y| = ln(x) * 1/ln(x) = 1 , tous les points de f d'abscisse dans ]0 ; 1[ conviennent comme point M

Pour x dans ]1 ; oo[ ln(x) > 0 ln|y| = 1/ln(x)
ln|x|.ln|y| = ln(x) * 1/ln(x) = 1 toujours vérifié, tous les points de f d'abscisse > 1 conviennent comme point M

Donc tous les points de f d'abscisses dans ]0 ; 1[ U ]1 ; oo[ conviennent comme points M.

Réfléchir encore pour le point de f d'abscisse 0...

@Black-Jack bonsoir svp transformer ça en latex pour mieux comprendre

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Fonctions. numériques :

@Black-Jack bonsoir svp transformer ça en latex pour mieux comprendre

Bonjour,

Je te laisse le soin de le faire ...
Ou bien de ne pas tenir compte de ma réponse si elle ne te plait pas.

@Black-Jack bonjour comment le transformer alors ?

Et tu parles de quelle réponse

Bonjour, je ne fais que passer.

@Zeïnab-Mahamadou je n’ai pas suivi tout ce long topic, et Black-Jack répondra à ta dernière question s’il le souhaite.
je me contente de regarder la formulation de tes questions.

Pour la question 1), ton professeur ne l'aurait pas formulée ainsi ! ! !
(tu as indiqué que c'était ta rédaction)
C’est un non-sens d’étudier continuité ou autre propriété avant de déterminer de domaine de définition .

Même si ce n’est pas demandé , pour toute fonction numérique f de variable réelle x, il faut savoir pour qu’elles valeurs de x l’expression f(x) est calculable , pour pouvoir légitimer les calculs.
Cela revient à déterminer le domaine $D_f$ de définition de la fonction.
Ensuite, tous les calculs utiles, pour limites, continuité, dérivabilié etc, sont faits avec $x∈Dfx\in D_f$ .

Je te détaille une explication de $D_f$ , que tu as peut-être faite...

Dans ton énoncé, l’expression f (x) est exprimée dans 3 cas disjoints.
Tu cherches les conditions d’existence de f(x) dans chacun des 3 cas.

1er cas :
Pour x=0, alors f(x)=1 c’est à dire f(0)=1 . Donc $\in Df$

2ème cas :
Pour x=1, alors f(x)=0 c’est à dire f(1)=0 Donc $\in Df$

3eme cas : $x≠0x\ne 0$ et $x≠1x\ne 1$ , c’est à dire $\in R$ \{0,1}

$f(x)=e1ln(x)f(x)=e^{\dfrac{1}{ln(x)}}$

Les deux conditions sont :
$x>0x\gt 0$ pour de $l n (x)$ existe
$x≠1x\ne 1$ pour que $l n (x)$ soit non nul (car on ne peut pas diviser par 0)
En bref, dans ce 3ème cas, f(x) est calculable pour $x∈]0,1[∪]1,+∞[x\in ]0,1[\cup ]1,+\infty[$

En faisant la réunion des 3 cas, tu obtiens : $Df=[0,+∞[\boxed{D_f=[0,+\infty[}$ (je crois que tu l’as trouvé)

@Zeïnab-Mahamadou , pour vérification éventeulle, je te joins la représentation graphique ( parties en BLEU) de $f$

@Zeïnab-Mahamadou , pour la dernière question, si j'ai bien lu, à l’aide de la représentation graphique de $f$ , tu dois représenter l’ensemble des points $M (x, y)$ tels que : $ln∣x∣ \times ln|y| = 1$

Je te joins un schéma de cette représentation graphique

Evidemment, il faut le justifier.

Piste à creuser ( ce n'est qu'une piste) :

L'expression $ln∣x∣ \times ln|y|$ est définie pour $x≠0x\ne 0$ et $y≠0y\ne 0$
De plus, pour $∣x∣≠1|x|\ne 1$ : $ln∣y∣=1ln∣x∣ln|y|=\dfrac{1}{ln|x|}$ <=> $∣y∣=e1ln∣x∣|y|=e^{\dfrac{1}{ln|x|}}$

En fonction des signes de $x$ et de $y$ , cette dernière égalité se transforme et tu dois en déduire des symétries (par rapport aux axes de coordonnées ou au point origine) pour la construction de cet ensemble de points $M$ en partant de la représentation graphique de $f$ .

Bon travail !