Problème de seuil (loi binomiale)

[Chris21300]

Bonjour, voici un nouvel exercice.
En plus de la correction sur le fond, j'aimerais que vous me disiez si, sur la forme, mes argumentation, ma présentation sont suffisantes ?
Je vous remercie d'ores et déjà pour votre aide

Enoncé

Dans un lycée, 237 élèves ont réservé un repas à la cantine. Les statistiques montrent que lorsqu'un élève a réservé, 7% du temps, il ne mange pas à la cantine.

1. Le personnel de la cantine ne voulant pas gâcher de nourriture souhaite savoir quel est le nombre minimal $k$ de repas à préparer tout en restant sûr à au moins 95% que tous les élèves se présentant auront un repas. Déterminer $k$.

2. Même question avec un risque que certains élèves n'aient pas de repas inférieur à 1%.

Mes réponses

Nous sommes face à un problème faisant intervenir la loi binomiale (puisque répétition de $n$ expériences aléatoire identiques, indépendantes l'une de l'autre, à 2 issues .
Soit $n$ l'effectif de 237 élèves.
Soit $p$ la probabilité qu'un élève mange à la cantine ($p=0.93)$
Soit $X$ la variable aléatoire associée au nombre $k$ comptant le nombre d'élève mangeant la cantine.

On a donc $X\sim B(237;0,93)$

1. Il nous faut déterminer la valeur de $k$ telle que $P(X\le k)\ge 0,95$

Avec un tableur on obtient :
$P(X\le 226)=0,9469$
$P(X\le 227)=0,9721$

Il faut donc préparer 227 repas afin d'être sûr qu'au moins 95% des élèves se présentant auront un repas.

2. Calculer le nombre de repas pour qu'il y ait moins de 1% de risque de ne pouvoir servir un élève revient à calcukler le nombre de repas pourqu'au moins 99% d'entre eux soit servis.

Il nous faut donc déterminer la valeur de $k$ telle que $P(X\le k)\ge 0,99$

Avec un tableur on obtient :
$P(X\le 228)=0,9867$
$P(X\le 229)=0,9944$

Il faut donc préparer 229 repas afin qu'on ait moins de 1% de risque de ne pas servir un élève inscrit.

[Noemi]

@Chris21300 Bonjour,

C'est juste.