Branche infinies limites 0+

Bonjour,
j'envoi ce message pour savoir si j'ai bien compris la méthode pour les branches infinies.
J'ai essayé de faire cet exo mais je voulais savoir si mes réponses et mon raisonnement sont bons svp?
Je crois qu'il faut toujours calculer les limites en 0+ et qu'il faut chercher l'ensemble de définition de la fonction.
Exercices
Exercice 1 Étudier le comportement asymptotique des fonctions suivantes.
$g(x)=cos⁡(x)x,h(x)=9x4+3x3−1x2+1.g(x)=\frac{\cos (x)}{x}, \quad h(x)=\frac{\sqrt{9 x^4+3 x^3-1}}{x^2+1} .$
Étude de $g (x)$ :

Limites de $g (x)$ aux bornes de l'ensemble de définition
a) Étude en $0^{+}$ :
On a $lim⁡x→0cos⁡(x)x=0\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{x}=0$ . Comme la fonction $cos⁡x\cos x$ est bornée, il en découle que
$lim⁡x→0+cos⁡xx=0\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos x}{x}=0$ . Puisque la fonction $\mapsto x$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0 , on conclut que $lim⁡x→0+g(x)=0\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=0$ .
b) Étude en $+∞+\infty$ :
On a $lim⁡x→+∞cos⁡(x)x=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos (x)}{x}=0$ , car le dénominateur croît plus rapidement que le numérateur. Ainsi, $lim⁡x→+∞g(x)=0\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ .
Branche infinie de $g (x)$ :
Le graphe de $g (x)$ possède une branche infinie en $+∞+\infty$ , car l'intervalle de définition n'est pas borné. On observe que
$lim⁡x→+∞g(x)x=1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{g(x)}{x}=1$
puisque $lim⁡x→+∞ω∞(x)xx=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{\omega \infty(x)}{x}}{x}=0$ . Ainsi, le graphe de $g (x)$ possède la droite d'équation $y = x$ comme direction asymptotique.

Comme la fonction $\mapsto g(x)-x$ ne possède pas de limite en $+∞+\infty$ , cette direction asymptotique n'est pas une asymptote.

Cela complète l'étude asymptotique de $g (x)$ selon la méthode proposée.

Étude de $h (x)$ :

Limites de $h (x)$ aux bornes de l'ensemble de définition
a) Étude en $0^{+}$ :
On a $lim⁡x→09x4+3x3−1x2+1=0−0−11=−1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9 x^4+3 x^3-1}}{x^2+1}=\frac{\sqrt{0-0-1}}{1}=-1$ . Ainsi, $lim⁡x→0+h(x)=−1\lim _{x \rightarrow 0^{+}} h(x)=-1$ , car la fonction $\mapsto x$ tend vers 0 pour $x$ tendant vers 0 .
b) Étude en $+∞+\infty$ :
On a $lim⁡x→+∞9x4+3x3−1x2+1=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{9 x^4+3 x^3-1}}{x^2+1}=+\infty$ , car le numérateur croît plus rapidement que le dénominateur. La fonction $\mapsto \frac{\sqrt{9 x^4+3 x^3-1}}{x^2+1}$ ne possède pas de limite en $+∞+\infty$ , mais elle est non bornée. Ainsi, $lim⁡x→+∞h(x)=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=+\infty$ .
Branche infinie de $h (x)$ :
Le graphe de $h (x)$ possède une branche infinie en $+∞+\infty$ , car l'intervalle de définition n'est pas borné.
Cependant, il n'est pas possible d'établir une direction asymptotique simple comme dans le cas de $g (x)$ , car le comportement de $h (x)$ en $+∞+\infty$ est plus complexe. La fonction $h (x)$ ne converge pas vers une droite d'équation $y = m x + b$ en $+∞+\infty$ de manière évidente.
Cela complète l'étude asymptotique de $h (x)$ selon la méthode proposée.

@Marvin Bonjour,

Vérifie le calcul de la première limite.

@Noemi
Ah oui cos(0) =1 et "1/0 donne + l'infini" merci.
Le raisonnement est bon j'imagine

@Marvin

Quel est le domaine de définition ?
Tu dois calculer la limite en $0^+$ et $0^-$ .

Pour $g(x)=cos⁡xxg(x)=\frac{\cos x}{x}$
$\left.D_g=\mathbb{R}^*=\right]-\infty ; 0[U] 0 ;+\infty[\text {. }$

Ensuite
limite à gauche en $0$ : = lim x->0 ,x<0 =
$=lim⁡x→0−1x=10−=−∞=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$

limite de $cos⁡x=cos⁡0=1\cos x=\cos 0=1$
Donc $lim⁡x→0−cos⁡xx=1×(−∞)=−∞\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos x}{x}=1 \times(-\infty)=-\infty$ .
De la même manière $lim⁡x→0+cos⁡xx=+∞\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos x}{x}=+\infty$

@Marvin

C'est correct.

Bonjour,

@Marvin , je me demande si ton professeur va accepter tes écritures relatives aux explications de limites...
Je ne parle pas du fond mais de la forme.

L'écriture $1×(−∞)1\times (-\infty)$ n'est pas correct dans $R$ , vu que $−∞-\infty$ n'est pas un nombre réel.
(il faudrait travailler dans $R‾\overline R$ ( dite "droite réelle achevée") pour que ça soit correct.

L'écriture $10−\dfrac{1}{0^{-}}$ n'est pas un symbole mathématique correct.
En dehors des réels, les symboles à utiliser sont $−∞-\infty$ et $+∞+\infty$

A toi de voir le seuil de tolérance de ton professeur relatif à la rédaction...

@mtschoon a dit dans Branche infinies limites 0+ :

Bonjour,

@Marvin , je me demande si ton professeur va accepter tes écritures relatives aux explications de limites...
Je ne parle pas du fond mais de la forme.

L'écriture $1×(−∞)1\times (-\infty)$ n'est pas correct dans $R$ , vu que $−∞-\infty$ n'est pas un nombre réel.
(il faudrait travailler dans $R‾\overline R$ ( dite "droite réelle achevée") pour que ça soit correct.

L'écriture $10−\dfrac{1}{0^{-}}$ n'est pas un symbole mathématique correct.
En dehors des réels, les symboles à utiliser sont $−∞-\infty$ et $+∞+\infty$

A toi de voir le seuil de tolérance de ton professeur relatif à la rédaction...
Bonjour,
Merci de ton conseil, en fait ça je l'écrirai sur mon brouillon, en plus je suis en master enseignement, donc ils vont pas me rater.
Mais je ferai un effort sérieux sur ma rédaction.
Au passage , avez vous des fonctions intéressantes à étudier, concernant les branches infinies?

@Marvin Bonjour,

Un lien pour l'étude de branches infinies : https://mabouzai.perso.univ-pau.fr/Branchesinfinies.pdf

Bonjour,

@Marvin , pour la forme, évidemment, comme le forum est public, c'est génant de laisser passer des écritures peu correctes qui pourraient donner de mauvaises idées aux consultants...

@Noemi , t'a indiqué un site où il y a de nombreuses fonctions.

Je te mets en plus un lien vers un topic tout récent avec la fonction $f$ définie par $f(x)=ln(x−42x)+xf(x)=ln\biggr(\dfrac{x-4}{2x}\biggr)+x$
@https://forum.mathforu.com/topic/34517/étude-de-fonction-problème/5
Les asymptotes verticales à la représentation graphique ont pour équations $x = 0, x = 4$ , et l'asymptote oblique à la représentation graphique $y=x+ln(12)y=x+ln(\dfrac{1}{2})$

Bon travail.