Problème sur une correction de sujet de BAC (intégrale)

Bonjour,

je suis coincé dans un exercice...
On nous donne $I_n=$ $∫01xnexdx\int_{0}^{1}{x^ne^xdx}$

et on nous demande de montrer que pour tout $n≥1n\geq1$ on a :

$0≤In≤e∫01xndx0\le I_n\le e\int_{0}^{1}{x^ndx}$

En fait j'ai la correction ici correction de cet exercice malheureusement je ne comprends pas cette correction

Mon travail

On a : $0≤x≤10\le x \le1$

Je passe l'inégalité précédente par la fonction exponentielle qui est croissante (et donc on ne change pas le sens de l'inégalité) et on obtient :

$e0≤x≤ee^0\le x\le e$ soit $1≤ex≤e1\le e^x\le e$

puis en multipliant par $x^n$ (positif) on obtient :

$xn≤xnex≤exnx^n\le x^ne^x\le ex^n$

Puis on prend l'intégrale de cette inégalité (en conservant l'ordre) on obtient :
$∫01xn≤∫01xnex≤∫01exn\int_{0}^{1}{x^n\le\int_{0}^{1}{x^ne^x\le\int_{0}^{1}{ex^n}}}$

et donc :

$1n+1≤In≤e∫01xndx\frac{1}{n+1}\le I_n\le e\int_{0}^{1}{x^ndx}$

et boum c'est là que je pense comprendre.
Comme $n≥1n\geq1$ alors $1n+1≥0\frac{1}{n+1}\ge 0$ et on peut donc bien écrire $0≤In≤e∫01xndx0\le I_n\le e\int_{0}^{1}{x^ndx}$

C'est correct ?

Je poste malgré tout car je souhaiterais que vous regardiez la correction que je vous ai donnée en lien et que vous me disiez si la correction de la partie II question 2 vous semble compréhensible ?

Merci par avance