Limite d'une suite de Héron

Bonjour à tous,

nouvel appel à la communauté par rapport à ce sujet :

ENONCE

PARTIE 1: Étude d'une fonction $f$

On considère la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f(x)=12(x+2x)f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x})$

1.a) Justifier que $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$
1.b) Déterminer les variations de $f$ sur $] 0; + \infty [$
1.c) Démontrer que si $x≥2x≥\sqrt2$ alors $f(x)≥2f(x)≥\sqrt2$
.

PARTIE 2: Étude de la suite $u_n)$

On considère la suite $u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$u_0=2$
$u_{n+1}=f(u_n)$

2.a) Déterminer $u_1,u_2,u_3$ à 0.1 près.
2.b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $2≤un+1≤un\sqrt2≤ u_{n+1}≤u_n$
2.c) En déduire que $u_n)$ est convergente.
2.d) On note $l$ la limite de la suite $u$ .
Démontrer que $l$ est solution de l'équation $l = 12 (l + 2 l)$
2.e) En déduire la valeur de $l$
2.f) Que faut-il changer à la définition de la suite $u_n)$ pour qu'elle converge vers $3\sqrt3$
.

PARTIE 3: Rapidité de convergence

3.a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $un+1−2=12un(un−2)2u_{n+1}−\sqrt2=\frac{1}{2u_n}(u_n−\sqrt2)^2$

3.b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a $un+1−2≤12(un−2)²u_{n+1}−\sqrt2≤\frac{1}{2}(u_n−\sqrt2)²$ .

3.c) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ on a

$un−2≤(12)2n(u0−2)u_n−\sqrt2≤(\frac{1}{2})^{2n}(u_0−\sqrt2)$

4.d) Quelle valeur de $n$ faut-il choisir pour que $u_n$ soit une valeur approchée de $2\sqrt2$ à $10^{-3}$ près.

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Mon travail

Partie 1 : aucun problème

Partie2

pas de souci pour la a). Mais pour la b) ça se complique à partie de l'étude de l'hérédité.

Notre hypothèse de récurrence (HR) est : $2≤un+1≤un\sqrt2≤ u_{n+1}≤u_n$ (pour tout entier naturel)
Il nous faut donc démontrer que $2≤un+2≤un+1\sqrt2≤ u_{n+2}≤u_{n+1}$

D'après l'HR : $2≤un+1\sqrt2≤ u_{n+1}$ ce qui implique $2≤f(un)\sqrt2≤ f(u_n)$ ce qui a été démontré dans la partie 1 et donc on aura $2≤f(un+1)\sqrt2≤ f(u_{n+1})$ ce qui impliquera $2≤un+2\sqrt2≤ u_{n+2}$

Donc le membre de gauche de l'inégalité me semble démontré (pouvez vous me le confirmer ?). Par contre je suis bloqué depuis hier soir pour démontrer le membre de droite d'où mon appel à l'aide

Pourriez-vous me donner un petit indice afin de me débloquer et me permettre de tenter de terminer seul l'exercice svp ? Je vous en remercie par avance

A l'instant où j'ai posté le message précédent j'ai eu une révélation .
Comme la fonction $f$ est strictement croissante à partir de $2\sqrt2$ alors elle conserve l'ordre à partir de $2\sqrt2$ . On applique donc la fonction $f$ à notre HR et on obtient :

$f(2)≤f(un+1)≤f(un)f(\sqrt2) \le f(u_{n+1})\le f(u_{n})$

soit :

$2≤un+2≤un+1\sqrt2 \le u_{n+2}\le u_{n+1}$

Est ce que cela est bon ?

Bon par contre, cette fois-ci je suis bel et bien bloqué sur la question 2d).
Je serais donc tout à fait preneur d'un petit indice

En attendant une éventuelle aide pour la 2d), j'ai fait la 2e) sans problème.
Par contre pour la 2f) je ne sais trop comment rédiger ma réponse

Dans la question précédente, comme on a montré que si $l=12(l+2l)l=\frac{1}{2}(l+\frac{2}{l})$ , alors la limite de $u_n)$ était $2\sqrt2$ .
Afin que cette limite soit $3\sqrt3$ j'ai donc fait le calcul à rebours et on trouve $l=12(l+3l)l=\frac{1}{2}(l+\frac{3}{l})$

De cette manière, peut on conclure tout simplement que pour que $u_n)$ converge vers $3\sqrt3$ il faut que $f(x)=12(x+3x)f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})$ ?

@Chris21300 Bonjour,

Pour la question 2d) , la limite $l$ doit être solution de l'équation :
vérifie l'énoncé
$l=12(l+2l)l=\dfrac{1}{2}(l+\dfrac{2}{l})$ ?
La limite étant $l$ , on remplace $u_{n+1}$ et $u_n$ par $l$ .

désolé @Noemi, effectivement dans la 2d) il fallait lire :

Démontrer que $l$ est solution de l'équation $l=12(l+2l)l=\frac{1}{2}(l+\frac{2}{l})$ .

Merci pour ton aide j'ai pu terminer cette question

Concernant la 2f) est ce que cette justification est acceptable ?

Afin que $(un)\left(u_n\right)$ converge vers $3\sqrt3$ , il faudrait donc que :

$(l−3)(l+3)=0(l-\sqrt3)(l+\sqrt3)=0$ soit $l^2-3=0$
$2 l ² = l ² + 3$
$l=l²+32ll=\frac{l²+3}{2l}$
$l=l2+32ll=\frac{l}{2}+\frac{3}{2l}$
$l=12(l+3l)l=\frac{1}{2}(l+\frac{3}{l})$

Donc, pour que $(un)\left(u_n\right)$ converge vers $3\sqrt3$ , il faudrait que $(un)\left(u_n\right)$ soit définie $N\forall\ n\ \in\ \mathbb{N}$ par :

$u_0=2$
$u_{n+1}=f(u_n)$

avec $f(x)=12(x+3x)f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})$

Merci par avance pour votre (in)validation

et concernant la 3b, est ce que cette justification passe ?

Déduire de a) que $un+1−2≤12(un−2)2u_{n+1}-\sqrt2\le \frac{1}{2}\left(u_n-\sqrt2\right)^2$ revient à déduire que :

$12un(un−2)²≤12(un−2)²\frac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt2)²≤\frac{1}{2}(u_n-\sqrt2)²$

On divise l’inégalité par le nombre positif $(un−2)2\left(u_n-\sqrt2\right)^2$ et on obtient :

$12un≤12\frac{1}{2u_n}\le\frac{1}{2}$

On divise l’inégalité par le nombre positif $12\frac{1}{2}$ et on obtient

$1un≤1\frac{1}{u_n}\le1$

On applique la fonction inverse (strictement décroissante sur $R)\mathbb{R})$ sur l’inégalité. On obtient :

$un≥1u_n\geq1$ ce qui est vrai puisqu’on a montré que $u_n)$ était minorée par 1.

Vraiment pas sûr que ça soit acceptable .. J'attends donc avec impatience votre avis

Merci par avance

et pour la 3c) là par contre on m'a complètement perdu

@Chris21300

L'ensemble est correct.

pour la 3.c), c'est une démonstration par récurrence.
Vérifie l'expression à démontrer.

Ce message a été supprimé !

Soit $k≥1k\ \in\mathbb{N}\ ;\ k\geq1$ .

Supposons $P (n)$ vraie au rang $k$ .
Notre hypothèse de récurrence est donc : $(u0−2)u_k-\sqrt2\ \le\ (\frac{1}{2})^{2k}\ .\ (u_0-\sqrt2)$

Vérifions si $P (n)$ est vraie au rang $(k + 1)$ donc vérifions si :

$(u0−2)u_{k+1}-\sqrt2\ \le\ (\frac{1}{2})^{2(k+1)}\ .\ (u_0-\sqrt2)$

Ce qui revient à vérifier que $(u0−2)\frac{1}{2u_k}(u_k-\sqrt2)²≤(\frac{1}{2})^{2(k+1)}\ .\ (u_0-\sqrt2)$

Par contre après ... je bloque

@Chris21300

Regarde ce corrigé : https://xymaths.fr/Informatique-Programmation/Exercices-maths/Suite-Heron/#Ex

merci encore @Noemi,

bon ça fait un petit moment que je regarde la correction que tu m'as apportée .. Que je comprends ...
Par contre je n'arrive pas à transposer ça à mon exercice .. N'y aurait il pas une faute dans l'énoncé 3c ? En effet dans mon énoncé la fraction $12\frac{1}{2}$ est à la puissance $2 n$ alors que dans la correction que tu m'as envoyé cette fraction est juste à la puissance $n$ .... ?

Cet exercice m'aura vraiment donné de la peine ... On n'est plus tout jeune!

Je suis même arrêté par la dernière question
Pour y répondre il suffit juste de taper la formule dans un tableur et voir ce que ça donne en fonction de $n$ ? Où doit on y parvenir par le calcul ?

@Chris21300

pour la question 3.c) à mon avis c'est une erreur dans l'énoncé.
pour la dernière question, tu détermines $n$ par un calcul l'expression doit être inférieure ou égale à $10^{-3}$

Bonjour @Noemi et merci à nouveau pour ton temps ...(et désolé du délai de réponse mais reprise du travail oblige :))...

Pour en revenir à cet exercice je n'arrive toujours pas à trouver comment faire la dernière question
Voici ce que j'ai fait mais qui m'amène vers le néant :

Précédemment on a démontré que $(u0−2)u_n-\sqrt2\le\ (\frac{1}{2})^n\ .\ (u_0-\sqrt2)$ et donc que
$(u0−2)+2u_n\le\ (\frac{1}{2})^n\ .\ (u_0-\sqrt2)+\sqrt2$ .

Comme $u_0=2$ on a donc démontré que $(2−2)+2u_n\le\ (\frac{1}{2})^n\ .\ (2-\sqrt2)+\sqrt2$

On souhaite maintenant trouver la valeur de $n$ pour que $un≈2u_n \approx\sqrt2$ à $10^{-3}$ près (soit $1,414≤un≤1,4151,414\le u_n\le 1,415$ ).

J'ai donc écrit l'inégalité suivante :

$+2≤1,4151,414\le\ (\frac{2-\sqrt 2}{2^n})\ +\sqrt2\le1,415$

$(2−22n)≤1,415−21,414-\sqrt2\le\ (\frac{2-\sqrt 2}{2^n})\le1,415-\sqrt2$

En multipliant par le nombre positif $2^n$ on obtient :

$2−2≤2n(1,415−2)2^n(1,414-\sqrt2)\le\ 2-\sqrt 2\le2^n(1,415-\sqrt2)$

Et là, souhaitant éliminer la puissance $n$ je comptais passer par le logarithme népérien malheureusement impossible sur le membre de gauche puisque $1,414−21,414-\sqrt2$ est un nombre négatif.
Bref, je ne vois pas la lumière ..

Je ne serais donc pas totalement hostile à un énième petit coup de pouce

@Chris21300
A partir de : $(u0−2)u_n-\sqrt2\le\ (\dfrac{1}{2})^n\ .\ (u_0-\sqrt2)$
il reste à montrer que $(2−2)=10−3(\dfrac{1}{2})^n\ .\ (2-\sqrt2)= 10^{-3}$
soit
$(12)n=10−32−2(\dfrac{1}{2})^n = \dfrac{10^{-3}}{2-\sqrt2}$

Pour déterminer $n$ , tu utilises la fonction logarithme.

Merci @Noemi,

mon dieu tant de temps passé à réfléchir sur une chose qui, une fois soufflée, était bien simple ...
Grrr J'ai encore beaucoup de travail à faire

Merci encore +++