une erreur que je ne comprends pas ...

Bonjour à tous,

pourriez-vous me dire où se trouve l'erreur dans le raisonnement qui suit svp ?

Je dois trouver le nombre de solution à cette équation :

$ex1+ex=x\frac{e^x}{1+e^x}=x$

Pour résoudre ce problème je souhaite étudier les variations de la fonction qui modélise cette équation.

Je dispose de la correction de cet exercice qui propose la fonction $f(x)=ex1+ex−xf(x)=\frac{e^x}{1+e^x}-x$
Et ils étudient le signe de $f^{'}$ .
Afin de faciliter les calculs j'ai cru trouver une stratégie facilitatrice (qui s'avère au finale fausse mais j'aimerais comprendre pourquoi elle est fausse, d'où l'appel à l'aide )

J'ai transformé $ex1+ex=x\frac{e^x}{1+e^x}=x$ en $e^x=x+xe^x$
et j'ai donc nommé une fonction $g$ telle que $g(x)=xe^x+x-e^x$
Puis j'ai trouvé sa dérivée $g'(x)=xe^x+1$ qui n'est pas du tout la même que $f^{'}$ ...

Alors pourquoi est ce que mon raisonnement initial est-il mauvais ?
Grrrr

Merci par avance pour votre réponse

@Chris21300 Bonjour,

Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas identiques, donc c'est normal que leur dérivée soit différente.

As-tu comparé les solutions pour $f (x) = 0$ et $g (x) = 0$ ?

excuse moi @Noemi (et encore merci pour ton temps consacré), mais peut être me suis je mal exprimé ...

Si on a $AB=CD\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ cela implique bien que $A D = B C$ et dc que $(A D - B C) = 0$

Par ailleurs $AB=CD\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ implique également que $AB−CD=0\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=0$

Arf ... Je n'arrive pas à expliquer ce qui me chagrine ...

Pour résumer pourquoi la dérivée de $A D - B C$ n'est pas la même que celle de $AB−CD\frac{A}{B}-\frac{C}{D}$ alors que ces 2 expressions sont issus d'une même égalité $AB=CD\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ?

Question qui doit vous paraître bien ridicule mais c'est plus fort que moi il faut que je comprenne

@Chris21300

Si $B$ et $D$ sont différents de $0$ .
$AB−CD=0\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=0$ implique $ADB−CBD=0\dfrac{AD}{B}-\dfrac{CB}{D}=0$ qui implique $A D - C B = 0$ .

Bonjour,

Si on a : f = A/B - C/D (avec B et D différents de 0)

f = (AD-BC)/(BD)

et g = (AD-BC) n'est pas identique à f

Les solutions de f = 0 sont les mêmes que celles de g = 0, MAIS, comme montré ci-dessus f et g ne sont pas identiques ... et donc leurs dérivées ne sont non plus les mêmes.

Je ne sais pas si cela te convient.

Merci à toi également @Black-Jack,

je suis parfois arrêté par pas grand chose ... MAis c'est plus clair maintenant je te remercie