Propriétés de courbes

Bonjour,
J'ai un exercice à faire sur une fonction avec un logarithme népérien, est je bloque totalement sur deux question, voici le sujet :

Soit k un nombre réel fixé, on considère la fonction fk définie sur ]0; +inf[ par fk(x) = kx - xln(x)
Soit C(k) la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé.

Et voici les deux questions sur lesquelles je bloque :

1 Montrer que, pour tout réel de k, le point d'ordonnée maximal de C(k) appartient à la droite d'équation y = x

Je suppose qu'il faut déterminer l'équation du maximum, montrer que y = x pour tout réel de k.

2 : Soit D(k) la tangente à la courbe C(k) au point d'abscisse 3. Montrer que toutes les droites D(k) coupent l'axe des ordonnées en un point A indépendant de la valeur de k.

Je suppose qu'il faut ici déterminer l'équation de la tangente, et puisque d'après la question précédente y = x, pour n'importe quelle point, en l'occurence 3, l'abscisse sera égale, en l'occurence 3.

J'ai tracé toutes les courbes et déterminer graphiquement les maximum et les tangentes, mais que graphiquement, ce qui ne m'aide pas beaucoup.

Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée.

@SilenceCurse Bonjour,

Pour la question 1, calcule la dérivée de la fonction et étudie les variations de la fonction. Tu en déduis l'abscisse du maximum. il reste ensuite à déterminer son ordonnée.
Pour la question 2, détermine l'équation de la tangente puis détermine la valeur de l'ordonnée si $x = 0$ .

Indique tes calculs, si tu souhaites une vérification.

Bonjour @Noemi
Merci beaucoup pour ta réponse,

Pour la dérivée j'ai trouvé ceci : fk(x)'= k -ln(x) -1.
Pour ce qui d'étudier les variations de la fonctions je sais pas comment faire, puisque il y a k, donc pour savoir si c'est inférieur ou supérieur à zéro je ne sais pas comment faire.

Et ensuite pour l'équation de la tangente j'ai trouvé :
y = x(k-1 - ln(3)) + 3

Et donc si x = 0, alors y = 3, ce qui revient je pense à y = x.
Mais après je ne sais pas si c'est juste ou pas.

Merci beaucoup pour ton aide.

@SilenceCurse

Pour la question 1, détermine la valeur qui annule la dérivée et cherche le signe de la dérivée pour un valeur supérieure et inférieure.

Pour la question 2, la résolution pour $x = 0$ qui donne $y = 3$ est la réponse à la question. Cela ne correspond pas à $y = x$ .

Merci indéfiniment pour l'aide, mais ce que je ne comprend pas c'est que, dans l'équation de la dérivée il y a deux inconnus, k et x, donc pour savoir si elle s'annule je ne vois pas comment faire, et encore moins pour savoir si elle est croissante ou pas.

Car si on définit le signe de (k-ln(x)), c'est impossible de le savoir, tandis que celui de -1 est négatif, on peut donc pas déterminer pour toute la dérivée entière; enfin je crois.

@SilenceCurse

La valeur qui annule la dérivée est : $x=e^{k-1}$
Cherche le signe de la dérivée pour $\gt e^{k-1}$

@Noemi

J'ai trouvé que pour tout x > e^k−1, tel que 2* e^k−1, la dérivée était négative.

Et que pour tout x < e^k-1, tel que 1/2 *e^k−1, la dérivée était positive.

Je sais pas si c'est correct.

@SilenceCurse

C'est correct, la fonction est croissante puis décroissante, donc admet un maximum. Calcule l'ordonnée du maximum.

J'ai donc trouvé que le maximum est k-e^k-1 * ln(e^k)

Mais après en essayant de déterminer y; j'ai n'ai pas trouvé les même résultat, soit y=x; j'ai déterminer la tangente de la fonction normal, puis remplacer x par xmax, mais je n'ai pas trouvé le bon résultat.

Je suis désolé je ne suis pas très doué avec les fonctions

@SilenceCurse

Si $x=e^{k-1}$ ; $fk(x)=k×ek−1−ek−1ln(ek−1)f_k(x)=k\times e^{k-1}-e^{k-1}ln(e^{k-1})$
$fk(x)=k×ek−1−(k−1)ek−1f_k(x)=k\times e^{k-1}-(k-1)e^{k-1}$
en simplifiant :
$f_k(x)= e^{k-1}$
Je te laisse conclure.

Merci beaucoup pour l'aide; passe une bonne journée.

@SilenceCurse

Bonne fin de journée pour toi aussi.