calcul d une limite en utilisant TAF

montrez qu il existe c \in ]0;t[ tel que (ln(1+t)-t)/t² =-1/2(1+c) et en deduire limite de (ln(1+t)-t)/t² en 0

@MRINI Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

C'est la seule question de l'exercice ?

@Noemi bonsoir
je m excuse j ai fait un copier coller du message et je l ai pas collé entier
il ya une seule question determiner c et deduire la limite

j ai trouvé la limite autrement c est -1/2 en posant x=sqrt t et utiliser le nobre derivée et limite

@MRINI

As tu fait l'étude de la fonction : $\dfrac{ln(1+t)-t}{t^2}$ ?

seulement la courbe sur geogebra

@MRINI

L'étude des variations de la fonction te permet de fournir le sens de variations et les limites de la fonction.

Bonjour,

@MRINI , je regarde ton énoncé.

@MRINI a dit dans calcul d une limite en utilisant TAF :

montrez qu il existe c \in ]0;t[ tel que (ln(1+t)-t)/t² =-1/2(1+c) et en deduire limite de (ln(1+t)-t)/t² en 0

Comme tu l'as indiqué dans ton titre, tu dois utiliser le T.A.F (Théorème des accroissements finis ) pour prouver l'égalité donnée et en déduire la limite.

Evidemment, pour utiliser le T.A.F. , il faut trouver une fonction satisfaisante[texte du lien](url du lien).

Une piste à détailler,
$t>0t\gt 0$
$U (t) = l n (1 + t) - t$ d'où $U′(t)=11+t−1=−t1+tU'(t)=\dfrac{1}{1+t}-1=\dfrac{-t}{1+t}$
$V(t)=t^2$ d'où $V^{'} (t) = 2 t$

Soir x une valeur fixée quelconque comprise entre $0$ et $t$ : $0<x≤t0\lt x\le t$

Soit $g (t) = U (x) V (t) - V (x) U (t)$ d'où
d'où $g^{'} (t) = U (x) V^{'} (t) - V (x) U^{'} (t)$

Tu t'assures que les conditions pour appliquer le T.A.F. sont satisfaites.
Donc, avec le T.A.F. :
$∃c\exist c$ , $c∈]0,x[c\in ]0,x[$ (donc nécessairement $c∈]0,t[c\in ]0,t[$ ) tel que : $g (x) - g (0) = (x - 0) g^{'} (c)$
Or, $g (x) = g (0) = 0$
Vu que $x$ n'est pas nul, tu déduis $g^{'} (c) = 0$

Il te reste à expliciter cette égalité $g^{'} (c) = 0$
$g^{'} (c) = 0$ <=> $U (x) V^{'} (c) - V (x) U^{'} (c) = 0$
En transformant (et en s'assurant que les dénominateurs sont non nuls) :

$U(x)V(x)=U′(c)V′(c)\dfrac{U(x)}{V(x)}=\dfrac{U'(c)}{V'(c)}$

Tu calcules $U′(c)V′(c)\dfrac{U'(c)}{V'(c)}$ et tu dois trouver après simplifications : $U′(c)V′(c)=−12(1+c)\dfrac{U'(c)}{V'(c)}=-\dfrac{1}{2(1+c)}$

D'où : $U(x)V(x)=−12(1+c)\dfrac{U(x)}{V(x)}=-\dfrac{1}{2(1+c)}$

Vu que $x∈]0,t]x\in]0,t]$ , pour $x = t$ tu obtiens :
$U(t)V(t)=−12(1+c)\dfrac{U(t)}{V(t)}=-\dfrac{1}{2(1+c)}$ d'où la réponse souhaitée.

Bien sûr, avec cette égalité, la limite cherchée est immédiate ( $−12)-\dfrac{1 }{2})$

Bons calculs.