Les intégrales avec racine

[tra va]

Bonjour, j'essaie de trouver la solution de cet intégrale mais sans résultat et même quand j'ai cherché le résultat je l'ai pas compris. Pouvez vous m'expliquer comment trouver la solution.
L'intégrale de 3t*√(1+t**2) dt

[Noemi]

@tra-va Bonjour,

Avec la méthode de substitution.
On pose $u=1+x^2$. La dérivée de $u$ par rapport à $x$ est $u^{\prime }=2x$ ou $du=2xdx$, ce qui implique que $dx=\frac{du}{2x}$.

En remplaçant dans l'intégrale, cela donne :

$\int 3x\sqrt{1+x^2}dx=\int 3x\sqrt{u}\cdot \frac{du}{2x}=\frac{3}{2}\int \sqrt{u}du$

Maintenant, on utilise la primitive de $\sqrt{u}$ :

$\int \sqrt{u}du=\frac{2}{3}{u}^{3/2}+C$

Puis on remplace $u$ par $1+x^2$, ce qui donne :

$\int 3x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}(1+x^2{)}^{3/2}+C=(1+x^2{)}^{3/2}+C$

Ainsi, la primitive de $3x\sqrt{1+x^2}$ est :
$(1+x^2{)}^{3/2}+C$ où $C$ est la constante d'intégration.