Exercice sur les suite de Cauchy@

Bonsoir je viens d’être bloquer sur cet exercice
On a Un= 1/0! +1/2! + …….+1/n!
Montrer que Un est une suite de Cauchy
U2n -Un = 1/(n+1)! +1/(n+2)! +…….+ 1/2n!
Je ne sais pas comment on fait après ça

@azad-mohamed Bonsoir,

Pour montrer que la suite $Un=∑k=0n1k!U_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$ est une suite de Cauchy, il faut prouver que pour tout $ϵ>0\epsilon \gt 0$ , il existe un entier $N$ tel que pour tout $\geq N$ , $∣Un−Um∣<ϵ|U_n - U_m| \lt \epsilon$ .
On suppose $\gt n$ . Alors,
$Um−Un=∑k=n+1m1k!U_m - U_n = \sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!}$

il faut montrer que cette somme peut être rendue arbitrairement petite pour $n$ suffisamment grand.
Pour cela, on peut estimer la somme $∑k=n+1m1k!\sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!}$ en utilisant le fait que les termes $1k!\dfrac{1}{k!}$ décroissent très rapidement. En particulier, pour $\geq n+1$ , :

$1k!≤1(n+1)!\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{(n+1)!}$
Ainsi, si $\geq n+1$ , nous pouvons majorer la somme :
$∑k=n+1m1k!≤∑k=n+1∞1k!\sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!}$
Cette dernière somme est une série convergente. En effet, nous savons que :
$∑k=0∞1k!=e\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} = e$
et par conséquent,
$∑k=n+1∞1k!→0quandn→∞\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to \infty$ .

Pour être plus précis, pour un $ϵ>0\epsilon \gt 0$ , il existe un entier $N$ tel que pour tout $\geq N$ ,
$∑k=n+1∞1k!<ϵ\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \lt \epsilon$ .
Ainsi, pour $\geq N$ , nous avons :

$∣Um−Un∣=∑k=n+1m1k!≤∑k=n+1∞1k!<ϵ|U_m - U_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \lt \epsilon$ .

Cela prouve que $U_n$ est une suite de Cauchy. Par conséquent, la suite $U_n$ converge.