Équation du second degré

Bonjour j’aimérai savoir, on me demande de factoriser une fonction polynôme du second degré de type : $f(x)=ax^2+bx+c$
Sous la forme : $f(x)=4x^2-49$
Comment se fait-il que dans la correction, la factorisation a lieu, sans passer la par « delta », via l’identité remarquable : $a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ .
Avec comme résultat : $4 (x - 7 / 2) (x + 7 / 2)$
Sachant que la formule du résultat de la factorisation dans les polynômes dépend de la valeur de « Delta ».. Il est donc possible que je factorisé via une identité remarquable sachant que « delta » est inférieur à zéro ? Mais dans ce cas la formule factoriser de mon polynôme n’est pas sensé exister ?
Ma question est la suivante; comment se fait-t-il que dans l’on me demande de factoriser un polynôme en passant par une identité remarquable, sachant que pour le factoriser j’ai besoin de savoir si « delta » est supérieur , inférieure ou égale à zéro ?

Bonjour @io_m,

C'est la forme canonique qui fait apparaître le discriminant $Δ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac$ :
$ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2+bx+c = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}]$

La valeur de $Δ\Delta$ détermine elle le nombre de solution de l'équation $ax^2+bx+c = 0$ :

pas de solution si $Δ\Delta$ < 0
une solution si $Δ\Delta$ = 0
deux solutions si $Δ\Delta$ > 0

Dans ton cas, $Δ\Delta$ = 784 > 0. Il y a 2 solutions et tu peux factoriser avec $ax^2+bx+c$ = $a (x - x 1) (x - x 2)$ , $x 1$ et $x 2$ solutions de l'équation mais vu que c = 0, la factorisation peut être directe sans calcul préalable de $Δ\Delta$ et te permet d'accéder aux solutions.

@io_m Bonjour,
Pour la factorisation d'un polynôme du second degré, il n'est pas indispensable de passer par le calcul du discriminant. Le calcul de "Delta" te permet d'indiquer le nombre de solution d'une équation du second degré.

L identité remarquable a utiliser est :
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
avec $a^2 =4x^2$ , tu choisis $a = 2 x$
et $b^2= 49, tu choisis$ b= 7$
donc
$4x^2-49=(2x-7)(2x+7)$

Si tu mets le $4$ en facteur, $4x2−49=4(x2−494)4x^2-49 = 4(x^2-\dfrac{49}{4})$
$a^2 =x^2$ , tu choisis $a = x$
et $b2=494b^2= \dfrac{49}{4}$ , tu choisis $\dfrac{7}{2}$
donc
$4x2−49=4(x−72)(x+72)4x^2-49=4(x-\dfrac{7}{2})(x+\dfrac{7}{2})$

@Noemi J’ai compris, merci de votre votre réponse

@io_m

C'est parfait si tu as compris le raisonnement.