Exercice de derivation

[m12]

Cc
La fonction f définie sur R par f(x)= -x cube + 3x carre+1
Courbe c tracée. A POINT absciss -1

1. Montrer que f est derivable sur R et calculer sa fonction dérivée

Donc j ai fais

• x cube = -3x carré
  3 x cube= 6x

Donc f'(x) = -3x carre+6x

F est derivable sur R cedt un polynôme

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

Cc
La fonction f définie sur R par f(x)= -x cube + 3x carre+1
Courbe c tracée. A POINT absciss -1

1. Montrer que f est derivable sur R et calculer sa fonction dérivée

Donc j ai fais

• x cube = -3x carré
  3 x cube= 6x

Donc f'(x) = -3x carre+6x

F est derivable sur R cedt un polynôme

[Black-Jack]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

f(x)= -x cube + 3x carre+1

Bonjour,

Je ne sais pas ce qui est attendu par le prof, c'est peut-être quelque chose comme ceci :
f(x)= -x³ + 3x² +1
Df = R

f(x+a) = -(x+a)³ + 3.(x+a)² + 1
f(x+a) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1

f(x+a) - f(x) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1 + x³ - 3x² - 1
f(x+a) - f(x) = -(3a²x+3ax²+a³) + 3a² + 6ax
f(x+a) - f(x) = -3a²x-3ax²-a³ + 3a² + 6ax

(f(x+a) - f(x))/a = -3ax-3x²-a² + 3a + 6x

lim(a-->0) [(f(x+a) - f(x))/a] = -3x²+6x

Cette limite existe pour tout x de R et donc f'(x) = -3x²+6x (sur R)

---

Mais, on peut aussi faire comme ce que tu as écrit... si le prof l'admet, ce qui est bien possible au niveau 1ère.

[m12]

@Black-Jack a dit dans Exercice de derivation :

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

f(x)= -x cube + 3x carre+1

Bonjour,

Je ne sais pas ce qui est attendu par le prof, c'est peut-être quelque chose comme ceci :
f(x)= -x³ + 3x² +1
Df = R

f(x+a) = -(x+a)³ + 3.(x+a)² + 1
f(x+a) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1

f(x+a) - f(x) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1 + x³ - 3x² - 1
f(x+a) - f(x) = -(3a²x+3ax²+a³) + 3a² + 6ax
f(x+a) - f(x) = -3a²x-3ax²-a³ + 3a² + 6ax

(f(x+a) - f(x))/a = -3ax-3x²-a² + 3a + 6x

lim(a-->0) [(f(x+a) - f(x))/a] = -3x²+6x

Cette limite existe pour tout x de R et donc f'(x) = -3x²+6x (sur R)

---

Mais, on peut aussi faire comme ce que tu as écrit... si le prof l'admet, ce qui est bien possible au niveau 1ère.

[m12]

Ce message a été supprimé !

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

@Black-Jack a dit dans Exercice de derivation :

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

f(x)= -x cube + 3x carre+1

Bonjour,

Je ne sais pas ce qui est attendu par le prof, c'est peut-être quelque chose comme ceci :
f(x)= -x³ + 3x² +1
Df = R

f(x+a) = -(x+a)³ + 3.(x+a)² + 1
f(x+a) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1

f(x+a) - f(x) = -(x³+3a²x+3ax²+a³) + 3x² + 3a² + 6ax + 1 + x³ - 3x² - 1
f(x+a) - f(x) = -(3a²x+3ax²+a³) + 3a² + 6ax
f(x+a) - f(x) = -3a²x-3ax²-a³ + 3a² + 6ax

(f(x+a) - f(x))/a = -3ax-3x²-a² + 3a + 6x

lim(a-->0) [(f(x+a) - f(x))/a] = -3x²+6x

Cette limite existe pour tout x de R et donc f'(x) = -3x²+6x (sur R)

---

Mais, on peut aussi faire comme ce que tu as écrit... si le prof l'admet, ce qui est bien possible au niveau 1ère.

Niveau première, on commence juste le chapitre

1. Montrée que f est derivable sur R et calculer sa fonction derivee

[Noemi]

@m12 Bonjour,

Ta réponse est correcte si tu indiques en premier la propriété (que tu dois avoir en cours) Toute fonction polynôme est dérivable sur R.
Puis tu calcules la dérivée.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12 Bonjour,

Ta réponse est correcte si tu indiques en premier la propriété (que tu dois avoir en cours) Toute fonction polynôme est dérivable sur R.
Puis tu calcules la dérivée.

-x cube= -3xcarre
3xcarre = 6x
1 =0

F' = -3x carre+ 6x mais je sais pas su après il y a +1 ou pas

[Noemi]

@m12

La dérivée est bien $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

La dérivée est bien $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$.

OK parce que 1 a une constante 0 cesr cela ?

2. Justifier que c admet 2 tangentes parallèle à l axe des abscisses
   Préciser les coordonnés des points de tangente

Donc
F'(0) = -3x carre+6x =0
X(-3x+6)=0
ON admet x=0 et x = -3x+6 soit x= -2

F(0)= -0 cube +3(2) carre +1 = 1
F((2)= ((-2)cube + 3 (2) carre +2 = 5
Point (0;1) et (-2;5)

[Noemi]

@m12

Une erreur : $-3x+6=0$ donne $3x=6$ donc $x=...$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Une erreur : $-3x+6=0$ donne $3x=6$ donc $x=...$

2

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Une erreur : $-3x+6=0$ donne $3x=6$ donc $x=...$

Pour les points (0;1) et (2;5)

[Noemi]

@m12

Oui, calcule $f(2)$

Pour $f(0)$,
$f(0)=-0^3+3\times 0^2+1=1$

Les coordonnées sont justes.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Oui, calcule $f(2)$

Pour $f(0)$,
$f(0)=-0^3+3\times 0^2+1=1$

F(2)= (-2) cube+3(2) carre +1 = -8+12 = 5

[Noemi]

@m12

C'est juste.
attention à l'écriture.
$f(2)=-2^3+3\times 2^2+1$ si tu mets des parenthèses, c'est juste pour le 2.
$f(2)=-(2{)}^3+3\times (2{)}^2+1$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

C'est juste.
attention à l'écriture.
$f(2)=-2^3+3\times 2^2+1$ si tu mets des parenthèses, c'est juste pour le 2.
$f(2)=-(2{)}^3+3\times (2{)}^2+1$

Ah ok
3. Montrer que la tangente T-1 à la courbe Cau point A à pour équation. Y=-9X-4

DONC
F'(-1)=-3(-1)carre+6(-1)
= -3-6 =-9

F(1)= -(-1) cube +3(-1) carre +1 = 5

Équation tangente y=f' (-1)(x-(-1)+f(-1) = -9(x+1)+5 = -9-4

[Noemi]

@m12

C'est correct. Tu as oublié $x$ à la fin.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

C'est correct. Tu as oublié $x$ à la fin.
Je l ai mis sur la copie

B) en quel point la courbe c admet une tangente parralle à T-1? Préciser l abscisse du point de tangente et son equation réduite

[Noemi]

@m12

Tu résous l'équation $f^{\prime }(x)=-9$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu résous l'équation $f^{\prime }(x)=-9$

-3 x carre+6x =-9
-3 x carre+6x+9=0
X carre-2x-3=0
(X-3) (x+1)=0

X=3 ou x=-1

[Noemi]

@m12

Oui,
Donc $x=3$ calcule $f^{\prime }(3)$ puis l'équation de la tangente.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Oui,
Donc $x=3$ calcule $f^{\prime }(3)$ puis l'équation de la tangente.

F' (3)(x-3)+f(3)
=-9(x-3)+1
=-9+28

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Oui,
Donc $x=3$ calcule $f^{\prime }(3)$ puis l'équation de la tangente.

F' (3)(x-3)+f(3)
=-9(x-3)+1
=-9+28

-9x+28

[Noemi]

@m12

C'est juste.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

C'est juste.

Il me reste encore des questions
Mais j en peux plus lol je reprendrais demain
Merci à vous

[Noemi]

@m12

OK, à demain.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

OK, à demain.

Cc me revoilà
Bonjour
4) a) justifier que pout tout réel a , la tangente Ta a C au point d abscisse à admet pour équation reduite
Y= (-3a carre+6a) x +2a cube-3 a carre+1

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

OK, à demain.

Cc me revoilà
Bonjour
4) a) justifier que pout tout réel a , la tangente Ta a C au point d abscisse à admet pour équation reduite
Y= (-3a carre+6a) x +2a cube-3 a carre+1

Faut il partir sur la formule
Y= f'(a)(x-a)+f(a)

[Noemi]

@m12

Oui, écris $f(a)$ et $f^{\prime }(a)$ puis tu remplaces dans l'équation de la tangente

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Oui, écris $f(a)$ et $f^{\prime }(a)$ puis tu remplaces dans l'équation de la tangente

Comment je trouve f'(a) et f(a)

[Noemi]

@m12

Tu remplaces juste $x$ par $a$.
$f(x)=-x^3+3x^2+1$
$f(a)=-a^3+3a^2+1$
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$
$f^{\prime }(a)=...$

[m12]

@Noemi

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu remplaces juste $x$ par $a$.
$f(x)=-x^3+3x^2+1$
$f(a)=-a^3+3a^2+1$
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$
$f^{\prime }(a)=...$

F'(x) = -3a carre +6a

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu remplaces juste $x$ par $a$.
$f(x)=-x^3+3x^2+1$
$f(a)=-a^3+3a^2+1$
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$
$f^{\prime }(a)=...$

Après je fais formule
F'(a)(x-a) + f(a)

(- 3a carre +6) (x + 3a cube-6a cube +3acarre+1

[Noemi]

@m12

c'est $f^{\prime }(a)=-3a^2+6a$
Puis tu remplaces $f(a)$ et $f^{\prime }(a)$ dans $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

c'est $f^{\prime }(a)=-3a^2+6a$
Puis tu remplaces $f(a)$ et $f^{\prime }(a)$ dans $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

(-3 à carre +6a) lx-a) + (-à cube+3 carre+1)

[Noemi]

@m12

Tu développes et tu simplifies l'expression.
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)(x-a)$
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)x+3a^3-6a^2$
$y=....$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu développes et tu simplifies l'expression.
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)(x-a)$
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)x+3a^3-6a^2$
$y=....$

-a cube+3a carre+1(-3a carre+ 6 a)x+3a cube- 6 à carre

Après j'y arrive pas

[Noemi]

@m12

Il faut regrouper les termes :
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)(x-a)$
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)x+3a^3-6a^2$
$y=(-3a^2+6a)x+3a^3-a^3-6a^2+3a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+(3-1)a^3-(6-3)a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+2a^3-3a^2+1$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Il faut regrouper les termes :
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)(x-a)$
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)x+3a^3-6a^2$
$y=(-3a^2+6a)x+3a^3-a^3-6a^2+3a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+(3-1)a^3-(6-3)a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+2a^3-3a^2+1$

Oui j'y suis arrivé du coup

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Il faut regrouper les termes :
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)(x-a)$
$y=-a^3+3a^2+1+(-3a^2+6a)x+3a^3-6a^2$
$y=(-3a^2+6a)x+3a^3-a^3-6a^2+3a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+(3-1)a^3-(6-3)a^2+1$
$y=(-3a^2+6a)x+2a^3-3a^2+1$

Moi j ai fais comme ça c'est n
Bon aussi??

[Noemi]

@m12

C'est correct.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

C'est correct.

Merci pour votre aide
Bonne soirée et bon week end

[Noemi]

@m12
Bonne soirée et bon week-end.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12
Bonne soirée et bon week-end.

Bonsoir j avzis pas vu la suite de l exo

Montrée alors que la tangente T a passe par l origine si et seulement si
(a-1) carre (2a+1) =0

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12
Bonne soirée et bon week-end.

Bonsoir j avzis pas vu la suite de l exo

Montrée alors que la tangente T a passe par l origine si et seulement si
(a-1) carre (2a+1) =0

J ai fait cela mais vraiment pas dur

[Noemi]

@m12 Bonsoir,

La démonstration présentée correspond à ce qui est attendu mais elle manque de rigueur.

La tangente passe par l'origine si $x=0$ et $y=0$, donc si $2a^3-3a^2+1=0$
Montrons que $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)$
$2a^3-3a^2+1=0$ possède une racine évidente $a=1$
tu justifies $sia=1$ ....
puis
donc $2a^3-3a^2+1=(a-1)(2a^2-3a+1)$
De même $2a^2-3a+1=0$ possède une racine évidente $a=1$
Tu justifies si $a=1$ .....
puis
$2a^2-3a+1=(a-1)(2a+1)$
Puis tu conclues
Comme $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)$ la tangente T passe par l'origine si .....

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12 Bonsoir,

La démonstration présentée correspond à ce qui est attendu mais elle manque de rigueur.

La tangente passe par l'origine si $x=0$ et $y=0$, donc si $2a^3-3a^2+1=0$
Montrons que $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)$
$2a^3-3a^2+1=0$ possède une racine évidente $a=1$
tu justifies $sia=1$ ....
puis
donc $2a^3-3a^2+1=(a-1)(2a^2-3a+1)$
De même $2a^2-3a+1=0$ possède une racine évidente $a=1$
Tu justifies si $a=1$ .....
puis
$2a^2-3a+1=(a-1)(2a+1)$
Puis tu conclues
Comme $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)$ la tangente T passe par l'origine si .....

(a-1) carre (2a+1)=0

[Noemi]

@m12

Oui.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Oui.

OK
C) en déduite les équations réduites des tangentes ala courbe c passant par l'origine

Donc
(a-1)carre(2a+1)=0
a=0 ou a= -1/2

Si a=0
Y = (-3(1) carre+ 6(1)) x +2(1) cube- 3(1) carre+1
= 3x+2-3+1
= 3x

Si a= -1/2
J applique même méthode
(-3)(_1/2) CARRE +6(-1/2)x +2(-1/2) cube -3(-1/2) carre +1
(_15/4)x = 1 /4
3/4+1
-15/4 x

[Noemi]

@m12

Attention ,
$a-1=0$ donne $a=1$ et non $a=0$
Les calculs ensuite sont justes.

Tu aurais pu te simplifier les calculs avec le raisonnement suivant.
Pour le calcul de l'équation réduite de la tangente, il suffit de remplacer $a$ dans l'équation : $y=(-3a^2+6a)x$ puisque $2a^3-3a^2+1=0$
Donc si $a=1$ ; $y=(-3\times 1^2+6\times 1)x=3x$

Si $a=-\frac{1}{2}$ ; $y=(-3\times (-\frac{1}{2}{)}^2+6\times (-\frac{1}{2}))x=-\frac{15}{4}x$

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Attention ,
$a-1=0$ donne $a=1$ et non $a=0$
Les calculs ensuite sont justes.

Tu aurais pu te simplifier les calculs avec le raisonnement suivant.
Pour le calcul de l'équation réduite de la tangente, il suffit de remplacer $a$ dans l'équation : $y=(-3a^2+6a)x$ puisque $2a^3-3a^2+1=0$
Donc si $a=1$ ; $y=(-3\times 1^2+6\times 1)x=3x$

Si $a=-\frac{1}{2}$ ; $y=(-3\times (-\frac{1}{2}{)}^2+6\times (-\frac{1}{2}))x=-\frac{15}{4}x$

Oui c'est bien a=1 c était une erreur de frappe

Partie B

1. Montrer que pour tout réel x
   F(x)-(-9x-4)=(5-x)(x+ 1) carre

Donc
Je résoud
f(x)-(-9x-4)
(-xcube+ 3x carfe+1)- (-9+4)
-x cube + 3 x carre+ 9x +5

Et
(5-x)(x+1) carre
5x carre+10x+5-x cube-2x carre -x

• x cube + 3 x carre+9x+5

[Noemi]

@m12

Tu as fais une vérification.
Tu aurais pu faire la même démonstration que tu as proposée pour l'équation de la tangente.

Ecrire que $x=-1$ est solution de l'équation $-x^3+3x^2+9x+5=0$
donc $-x^3+3x^2+9x+5=(x+1)(-x^2+4x+5)$
puis
$-x^2+4x+5=(x+1)(-x+5)$
puis conclure

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu as fais une vérification.
Tu aurais pu faire la même démonstration que tu as proposée pour l'équation de la tangente.

Ecrire que $x=-1$ est solution de l'équation $-x^3+3x^2+9x+5=0$
donc $-x^3+3x^2+9x+5=(x+1)(-x^2+4x+5)$
puis
$-x^2+4x+5=(x+1)(-x+5)$
puis conclure

Ah ok

2. en déduire la position relative de la courbec et de la tangente T-1 suivant les valeurs du réel x?

La compliqué

[m12]

@m12 a dit dans Exercice de derivation :

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

Tu as fais une vérification.
Tu aurais pu faire la même démonstration que tu as proposée pour l'équation de la tangente.

Ecrire que $x=-1$ est solution de l'équation $-x^3+3x^2+9x+5=0$
donc $-x^3+3x^2+9x+5=(x+1)(-x^2+4x+5)$
puis
$-x^2+4x+5=(x+1)(-x+5)$
puis conclure

Ah ok

2. en déduire la position relative de la courbec et de la tangente T-1 suivant les valeurs du réel x?

La compliqué

On sait que (x+1)>=0
Donc x=-1

Pour tout réel x lz position de la courbe c dépend du signe de (5-x

[Noemi]

@m12

oui
Tu cherches le signe de $f(x)-y$ selon les valeurs de $x$.
Comme $f(x)-y=(5-x)(x+1{)}^2$ et que $(x+1{)}^2\ge 0$
cela dépend donc du signe de $(5-x)$
Il te reste à écrire :
Si $x>5$, $5-x....$ donc
puis si
$x<5$ , ....

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

oui
Tu cherches le signe de $f(x)-y$ selon les valeurs de $x$.
Comme $f(x)-y=(5-x)(x+1{)}^2$ et que $(x+1{)}^2\ge 0$
cela dépend donc du signe de $(5-x)$
Il te reste à écrire :
Si $x>5$, $5-x....$ donc
puis si
$x<5$ , ....

Si x>5 donc la courbe est dessous la droite
Si x<5 donc la courbe est au dessus
Si x=0 donc la droite er la courbe se coupent

[Noemi]

@m12

C'est correct.

[m12]

@Noemi a dit dans Exercice de derivation :

@m12

C'est correct.

Merci beaucoup
Bonne soirée

[Noemi]

@m12

Bonne soirée.