produit scalaire dans le plan



  • Devoir Maison :
    Soit(o:i:j)un repere orthonormé.
    Calculer la distance d du point A a la droite (D) sachant que la droite (D) a pour equation: -x+4y-2=0
    et le point A a pour coordonées(-1;3)

    Help je c'est comment mit prendre j'ai besoin d'aide.
    merci
    😕 😕


  • Modérateurs

    Salut,
    soit un vecteur uu^\rightarrow orthogonal à la droite (D), grâce à l'équation de (D) tu peux trouver ses coordonnées. Soit B le point de (D) tel que (AB) perp/ (D) alors la distance de A à (D) est la distance AB. Le vecteur ABAB^\rightarrow est orthogonal à (D), il a donc les mêmes coordonnées que uu^\rightarrow , tu connais donc les coordonnées de ABAB^\rightarrow , celles de A, tu n'as plus qu'à déterminer celles de B et tu pourras calculer llABllAB^\rightarrow ll.
    Il y a également une formule, je ne sais pas si tu l'as vu qui dit que la distance D(A;(AB)) d'un point A(xaA(x_a ,yay_a ) à une droite (AB) d'équation ax+by+c=0 est : D(A;(AB))=(l axaax_a +bya+by_a +c l)/(a²+b²).



  • merci je vais regarder si j'y arrive
    c'est gentil



  • j'ai beau cherché dans mon cour ou dans des bouquin je trouve expliquant comment calculé un vecteur a partir d'un equation d'une droite

    aie aie....
    merci d'avancee


  • Modérateurs

    Salut.

    Ton problème est de calculer un vecteur orthogonal à la droite si je comprend bien.

    De manière générale, dans le plan, considérons une droite d'équation ax+by+c=0.

    Un vecteur directeur de cette droite est (-b;a), et un vecteur normal à la droite est (a;b).


    Montrons ça sur un exemple:

    Soit la droite 😧 2x+y-2=0.

    Pour le vecteur directeur:

    On prend 2 points de la droite: pour cela on peut fixer x à 0 puis calculer y grâce à l'équation de D, puis fixer y à 0...

    Donc les points A(0;2) et B(1;0) appartiennent à D.

    Il paraît logique que le vecteur AB^\rightarrow soit directeur de D non?

    Or AB^\rightarrow = (1;-2) qui est colinéaire à (1;-2)=(-b;a).

    On sait donc déterminer un vecteur directeur d'une droite depuis son équation.

    Pour le vecteur normal:

    On sait que (1;-2) est vecteur directeur de D, donc tout vecteur orthogonal à ce vecteur est normal à la droite. Calculons ce vecteur normal.

    On sait que si le produit scalaire de 2 vecteurs est nul, alors ces 2 vecteurs sont orthogonaux. Effectuons ce produit scalaire, et faisons en sorte qu'il soit nul.

    (1;-2).(x;y)=1*x+(-2)*y=x-2y.

    (x;y)=(2;1) convient ! De plus (2;1)=(a;b), ce qui concorde avec ce que j'ai dit au début.

    Pour te convaincre de tout ça, tu pourras essayer de faire une démonstration générale avec les coefficients a, b et c. Elle s'appuie sur ma démonstration sur un exemple particulier.

    @+


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