Les Suites.

Bonjour,

J'ai un devoir maion se de maths sur les suites.

Ce problème propose l'étude de deux suites $a_n$ ) et $b_n$ ) à partir d'un exemple numérique : Unepopulaation de 20 000 oiseaux vit sur deux iles voisines A et B, éloignées de toute autre terre. Chaque année 20% des oiseaux de l'ile A migre vers l'ile B et 30% des oiseaux de l'ile B mire vers l'ile A.
On note $a_0$ et $b_0$ les populations initials sur A et B (avec $a_0$ + $b_0$ = 20 000) et on note $a_n$ et $b_n$ les populatations sur A et B au botu de n années.

1/ montrer que pour tout entier n>0, les suites $a_n$ et $b_n$ sont définies par :

$a_{n+1}$ = 0. $8_n$ + 0. $3b_n$
$b_{n+1}$ = 0. $2a_n$ + 0. $7b_n$

pour la suite :

J'ai compris le sujet mais je n'arrive pas à démontrer
1/ pour tout entier n >0, les suites $a_n$ ) et $b_n$ ) sont définies par : comme 20% migre de A vers B 100% - 20% = 80%

et comme 30% migre de B vers A 100%-30% = 70%

comme $a$ _0 $b_0$ = 20 000

je vous envoie le sujet, j'ai pu faire pour petit 1

et pour le 2/ pour tout n,

$U_n$ = $a$ _n $b_n$

$U_{n+1}$ =a(n+1) + b(n+1)
= (a+b) (n+1)
= $a_n$ + $b_n$
= $U_n$

alours pour toutn, la suite est une constante

pour le 3/ piur tout n, $V_n$ = $2a_n$ - $3b_n$

a/ $V_{n+1}$ = 2a(n+1) - 3b(n+1)
= (3a-3b) (n+1)
= $2a_n$ - $3b_n$
= $V_n$

et apprès j'y arrive plus et je ne sais pas si c'est bon ce que j'ai depuis le début!

Merci de votre en avance, et je vous souhaite un bon week end!

Salut anitha,
attention à ne pas confondre $a_{n+1}$ et a(n+1), le premier correspond à la valeur de la suite $a_n$ ) au rang n+1 alors que le deuxième est une multiplication d'un nombre a par n+1.
Donc pour le 2) par exemple on te demande de calculer $U_{n+1}$ et tu sais que $U$ n $= a$ n $b_n$ (mais en aucun cas : $U_n$ =axn+bxn)
donc $U$ {n+1} $= a$ {n+1} $b_{n+1}$
en remplaçant par ce que tu as trouvé à la première question tu devrais aboutir au résultat.

Salut Raycage,

Merci de ton aide pour le 2/
de m'avoir corrigé!

$U_{n+1}$ = $a_{n+1}$ + $b_{n+1}$
=(0. $8a_n$ + 0. $3b_n$ ) +(0. $2a_n$ + 0. $7b_n$ )
= $a_n$ + $b_n$
donc $U_{n+1}$ = $a_n$ + $b_n$ = $U_n$

donc la suite est constante!