Les Suites.



  • Bonjour,

    J'ai un devoir maion se de maths sur les suites.

    Ce problème propose l'étude de deux suites (an(a_n) et (bn(b_n) à partir d'un exemple numérique : Unepopulaation de 20 000 oiseaux vit sur deux iles voisines A et B, éloignées de toute autre terre. Chaque année 20% des oiseaux de l'ile A migre vers l'ile B et 30% des oiseaux de l'ile B mire vers l'ile A.
    On note a0a_0 et b0b_0 les populations initials sur A et B (avec a0a_0 + b0b_0 = 20 000) et on note ana_n et bnb_n les populatations sur A et B au botu de n années.

    1/ montrer que pour tout entier n>0, les suites ana_n et bnb_n sont définies par :

    an+1a_{n+1} = 0.8n8_n + 0.3bn3b_n
    bn+1b_{n+1} = 0.2an2a_n + 0.7bn7b_n

    pour la suite : http://www.hiboox.com/vignettes/4006/c69b9eec.jpg

    J'ai compris le sujet mais je n'arrive pas à démontrer
    1/ pour tout entier n >0, les suites (an(a_n) et (bn(b_n) sont définies par : comme 20% migre de A vers B 100% - 20% = 80%

    et comme 30% migre de B vers A 100%-30% = 70%

    comme aa_0+b0+b_0= 20 000

    je vous envoie le sujet, j'ai pu faire pour petit 1

    et pour le 2/ pour tout n,

    UnU_n= aa_n+bn+b_n

    Un+1U_{n+1}=a(n+1) + b(n+1)
    = (a+b) (n+1)
    = ana_n + bnb_n
    = UnU_n

    alours pour toutn, la suite est une constante

    pour le 3/ piur tout n, VnV_n= 2an2a_n - 3bn3b_n

    a/ Vn+1V_{n+1} = 2a(n+1) - 3b(n+1)
    = (3a-3b) (n+1)
    = 2an2a_n - 3bn3b_n
    = VnV_n

    et apprès j'y arrive plus et je ne sais pas si c'est bon ce que j'ai depuis le début!

    Merci de votre en avance, et je vous souhaite un bon week end!


  • Modérateurs

    Salut anitha,
    attention à ne pas confondre an+1a_{n+1} et a(n+1), le premier correspond à la valeur de la suite (an(a_n) au rang n+1 alors que le deuxième est une multiplication d'un nombre a par n+1.
    Donc pour le 2) par exemple on te demande de calculer Un+1U_{n+1} et tu sais que UUn=a=an+bn+b_n (mais en aucun cas : UnU_n=axn+bxn)
    donc UU
    {n+1}=a=a
    {n+1}+bn+1+b_{n+1}
    en remplaçant par ce que tu as trouvé à la première question tu devrais aboutir au résultat.



  • Salut Raycage,

    Merci de ton aide pour le 2/
    de m'avoir corrigé!

    Un+1U_{n+1} = an+1a_{n+1} + bn+1b_{n+1}
    =(0.8an8a_n + 0.3bn3b_n) +(0.2an2a_n + 0.7bn7b_n)
    = ana_n + bnb_n
    donc Un+1U_{n+1} = ana_n + bnb_n = UnU_n

    donc la suite est constante!


 

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