4. Produit scalaire Intersection de 2 cercles

Produit scalaire Intersection de 2 cercles

  • K

    Bonjour, je suis nouveau sur ce forum.
    Hier, notre prof de math nous à appris comment trouver l'équation d'un cercle dans un repère :
    Ex :
    M Є C (de diamètre [AB])
    ⇔ am⃗.bm⃗=0\vec{am}. \vec{bm} = 0am.bm=0

    $a(2;3) \tex{on a} \vec{am}(x-2;y-3)$

    $b(4;-3) \tex{on a} \vec{bm}(x-4,y+3)$
    avec

    m(x;y)m(x;y)m(x;y)

    On a donc :
    (x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0(x-2)(x-4)+(y-3)(y+3)=0(x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0

    ⇔ x2−6x+8+y2−9=0x^2-6x+8+y^2-9=0x2−6x+8+y2−9=0
    ⇔ (x−3)2+y2=10(x-3)^2+y^2=10(x−3)2+y2=10
    ⇔ (x−3)+y=10(x-3)+y=\sqrt{10}(x−3)+y=10​

    On a ici le calcul de la norme de ΩM ( ab=(xb−xa)2+(yb−ya)2ab = \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}ab=(xb​−xa​)2+(yb​−ya​)2​) on a donc les coordonnées de Ω(3;0) (on aurait pu l'avoir par :

    $\frac{x_a+x_b}{2} \tex{et} \frac{y_a+y_b}{2}$

    On a donc l'équation du cercle C de centre Ω(3,0) et de rayon r=10r=\sqrt{10}r=10​
    Non ?

    Ensuite j'ai voulu essayer quelque chose, si dans mon repère j'ai 2 cercles qui se coupent, comment calculer les coordonnées des intersections ?
    Je me suis dis, pourquoi pas faire un système avec le calcul de N (le Point d'intersection n°1) sur le premier cercle et de N sur le second (en prenant N(x,y), le second cercle est de diamètre [DE] ) ce qui donnerait les coordonnées des points qui sont à la fois sur un cercle ET sur l'autre, non ?

    On devrait alors obtenir quelque chose comme ça :
    an⃗(x−2;y−3)\vec{an}(x-2;y-3)an(x−2;y−3)

    d(3,3)d(3,3)d(3,3)
    dn⃗(x−3,y−3)\vec{dn}(x-3,y-3)dn(x−3,y−3)

    Et là je bloque, je sais qu'on devrait avoir x{x-2 égale à qqch x-3 égale à qqch
    et pareil pour y... mais je ne vois pas quoi !

    Quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plaît ? 😕 😄

    miumiu : bonjour et bienvenue !!! je me suis permise de modifier légèrement ton post pour une meilleure lisibilité 😉

    M 1 réponse
  • M

    bonjour et bienvenue :):)

    kuvkhgh
    Bonjour, je suis nouveau sur ce forum.
    Hier, notre prof de math nous à appris comment trouver l'équation d'un cercle dans un repère :
    Ex :
    M Є C (de diamètre [AB])
    ⇔ am⃗.bm⃗=0\vec{am}. \vec{bm} = 0am.bm=0

    $a(2;3) \tex{on a} \vec{am}(x-2;y-3)$

    $b(4;-3) \tex{on a} \vec{bm}(x-4,y+3)$
    avec

    m(x;y)m(x;y)m(x;y)

    On a donc :
    (x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0(x-2)(x-4)+(y-3)(y+3)=0(x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0

    ⇔ x2−6x+8+y2−9=0x^2-6x+8+y^2-9=0x2−6x+8+y2−9=0
    ⇔ (x−3)2+y2=10(x-3)^2+y^2=10(x−3)2+y2=10 je ne comprends pas comment tu passes de cette ligne
    ⇔ (x−3)+y=10(x-3)+y=\sqrt{10}(x−3)+y=10​ à celle là ...

    On a ici le calcul de la norme de ΩM ( ab=(xb−xa)2+(yb−ya)2ab = \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}ab=(xb​−xa​)2+(yb​−ya​)2​) on a donc les coordonnées de Ω(3;0) (on aurait pu l'avoir par :

    $\frac{x_a+x_b}{2} \tex{et} \frac{y_a+y_b}{2}$

    On a donc l'équation du cercle C de centre Ω(3,0) et de rayon r=10r=\sqrt{10}r=10​
    Non ?

    On a donc :
    (x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0(x-2)(x-4)+(y-3)(y+3)=0(x−2)(x−4)+(y−3)(y+3)=0

    ⇔ x2−6x+8+y2−9=0x^2-6x+8+y^2-9=0x2−6x+8+y2−9=0

    ⇔ (x−3)2+y2=10(x-3)^2+y^2=10(x−3)2+y2=10

    voilà donc là tu peux dire que tu reconnais l'équation d'un cercle de centre Ω(3;0) et de rayon r=10r=\sqrt{10}r=10​
    pas besoin d'aller plus loin lol
    dis moi si tu n'as pas compris

    M 1 réponse
  • M

    Pour la suite de l'exercice il ne manquerait pas les coordonnées du point E ??!!
    Tu as l'équation du premier cercle tu vas trouver l'équation du second cercle les deux points appartiennent aux deux cercles donc vérifient les deux équations ...
    ok?!
    dis moi si tu as compris également 😉

    K 1 réponse
  • K

    D'accord, sinon, je ne vois pas, lorsque j'aurai les coordonnées des 2 cercles, "extraire" l'abscisse et l'ordonnée de N afin de trouver ce système... :
    Prenons la suite de l'exercice, (O remplace Ω, le symbole n'est pas reconnu 😉 )
    e(5,1)e(5,1)e(5,1)

    (Là, je vais prendre une methode plus rapide pour avoir l'équation du cercle)

    O $(\frac{x_d+x_e}{2} \tex{,} \frac{y_d+y_e}{2})$

    On a donc O(4,2)(4,2)(4,2)

    oe⃗(1;−1)\vec{oe}(1;-1)oe(1;−1)

    oe=2oe=\sqrt{2}oe=2​

    Donc c(o(4,2),r=2)c( o(4,2) , r=\sqrt{2} )c(o(4,2),r=2​)

    A partir de là, je ne vois pas comment calculer N... :frowning2: Pourriez vous me donner la voie s'il vous plaît ?

    Merci 😄

    M 1 réponse
  • M

    Donc si j'ai bien suivi on a pour l'équation du second cercle

    (x−4)2+(y−2)2=2(x-4)^2+(y-2)^2=2(x−4)2+(y−2)2=2
    l'équation du premier cercle c'est

    (x−3)2+y2=10(x-3)^2+y^2=10(x−3)2+y2=10
    les points d'intersections vérifient ces deux équations donc on a le système (E) :
    (x−3)2+y2=10(x-3)^2+y^2=10(x−3)2+y2=10
    (x−4)2+(y−2)2=2(x-4)^2+(y-2)^2=2(x−4)2+(y−2)2=2

    (E)⇔
    x2−6x+9+y2=10x^2-6x+9+y^2=10x2−6x+9+y2=10
    x2−8x+16+y2−4y+4=2x^2-8x+16+y^2-4y+4=2x2−8x+16+y2−4y+4=2
    tu résouds ce sytème en utilisant la substitution et la combinaison
    ok?!
    c'est un peu long ça donne des calculs un peu fastidieux...

    ps: bravo pour le Latex 🙂

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Et maintenant on voit le produit scalaire en seconde ?

    Dans quel lycée et dans quel pays ?

    Parce qu'en France c'est au programme des 1ère S , pas des 1ère L ni des ES et encore moins des secondes !

    Si je te demande cela c'est pour préciser ton niveau et savoir ce que tu es censé savoir afin de te répondre avec plus de pertinence.

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