suite et fonction exponentielle

Bonjour !!
Alors voilà ma meilleure amie est en Term et cette après midi en voulant l'aider sur un de ses DM nous sommes tombées sur une colle :frowning2:
Merci d'avance à ceux qui auront la gentillesse de nous éclairer .

énoncé

On conscidère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par

$f(x) = 1 - x^2e^{1-x^2}$

son tableau de variations est le suivant

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&0&&1&&+\infty \ \hline \ &1&&&&1 \ {f}&&\searrow&&\nearrow&&\ &&&0&\end{tabular}$

asymptote d'équation $y = 1$

Questions

Soit $n$ entier supérieur ou égal à 2
Montrer que l'équation

$\frac{1}{n}$

admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ respectivement comprises entre [0;1] et [1; + ∞[.

Sur la feuille construire sur l'axe des abscisses les réels $u_n$ et $v_n$ pour $n$ appartenant à l'ensemble {2;3;4}.
Déterminer le sens de variation des suites $u$ et $v$ .
Montrer que la suite $u$ est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite $v$ . En déduire que les suites sont adjacentes.

Réponses

∀ $x$ de R* et ∀ $n$ ≥2

$\frac{1}{n}$
⇔

$x^2e^{1-x^2} = \frac{1}{n}$
⇔

$x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}= 0$
⇔
on pose
pour les mêmes ensembles de définition de départs

$x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}$

$p$ est composée de fonctions dérivalbles sur R* donc $p$ est dérivable sur R*

$p'(x) = 2x^2e^{1-x^2}( -1 + x^2)$

$\ge 0$
⇔

$−1+x2≥0-1+x^2 \ge 0$
⇔

$x2≥1x^2 \ge 1$
⇔

$\ge 1$

donc $p$ décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞[

$lim⁡x→0p(x)=1−1n\lim _{x \rightarrow 0}p(x) = 1-\frac{1}{n}$

$lim⁡x→+∞p(x)=lim⁡x→+∞1−1n−x2×eex2=1−1n\lim _{x \rightarrow {+} \infty}p(x) = \lim _{x \rightarrow {+} \infty} 1-\frac{1}{n} - \frac{x^2\times e}{e^{x^2}}= 1-\frac{1}{n}$

$\frac{-1}{n}$

on a donc deux solutions pour $p (x) = 0$ (cf théorème de la bijection)

Alors avec la fonction TABLE de la calculette on peut trouver les valeurs de $u_2; v_2 ;u_3 ...$

mais ensuite on ne sait pas comment prouver que $u$ est croissante
j'ai pensé à calculer la dérivée seconde car la pente de la courbe augmente avec $n$ mais je ne sais pas trop où ça me mène ...

Salut,
Voila ce que j'ai trouvé pour la question 2.

∀n∈ $mathbb{N}$ $1n+1≤1n\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$

donc $f(un+1)≤f(un)f(u_{n+1}) \le f(u_n)$

Or $\le u_n \le 1$ et sur cet intervalle f esf décroissante donc

$un≤un+1u_n \le u_{n+1}$ (d'après la réciproque - à démontrer - de la définition d'une fonction décroissante).

Ca marche aussi pour $v_n$ en considérant que $\le v_n$ .

miumiu: mise au LaTeX

Merci beaucoup Thierry ^^
que serions nous sans notre webmaster?! :rolling_eyes: