Fonction (parité,signe...)



  • Bonjour, j'ai un problème dans mon DM (pour demain 😁 ). J'ai oublié comment étudier la parité d'une fonction, j'ai pourtant rechercher sur internet, je ne trouve pas.Je crois me souvenir que ça ressembler à ça: f(x)=-f(x) et f(x)=f(-x) maintenant laquelle sert à demontrer une fonction pair ou impair...ou ni l'un ni l'autre... 😕
    Je poste mes reponses et l'énoncé:
    énoncé:
    Soit la fonction f définie sur R par f :

    x→ 2

    x²+1

    1.Etudier la parité de la fonction f.
    2.Calculer f(x)-2. En déduire le signe de f(x)-2.
    Interpréter graphiquement ce résultat.
    3.Déterminer le signe de f(x)
    4.On considère deux réels a et b tels que a ≤ b,
    Montrer que :
    F (a)-f (b)= 2(b-a) (a+b)
    ------------------ (fraction)
    (a² +1)(b²+1)

    5.En déduire le sens de variation de la fonction f sur]-∞; 0] et sur [0 ; +∞ [.
    6.Dresser le tableau des variations de la fonction f sur R.
    7.Donner la représentation graphique de f.

    Mes réponses (attention rien n'est sur :razz: )

    1. f(-x)→ 2

    x²+1
    f est une fonction pair

    1. 2 - 2

    x²+1

    ⇔ 2 - 2x² - 2

    x² +1

    ⇔ 4+x²

    x²+1
    ensuite pour la parité de f(x)-2 on trouve pair mais je ne vois pas ou est la deduction
    interpreter graphiquement 😕
    3.J'ai fait un tableau de signe, je ne sais pas si c'est ce qui faut faire

    1. j'obtiens 2(b-a)(a+b)+4

    (a²+1)(b²+1)
    c'est pas normal, pourtant j'ai l'impression d'avoir bien fait le calcul.
    5.aucune idée de latechnique a employé
    6.meme chose
    7.allure de courbe????

    Bon, je recapitule j'aurais besoin d'aide sur les questions 2,4,5,6,7
    et une correction pour la 1 et la 3.
    Merci d'avance



  • Bonjour,

    Soit

    f(x),=,2,x2,+,1f(x) ,=, \frac{2}{,x^2,+,1}

    Pour regarder si une fonction est paire ou impaire, il faut bien comparer f(-x) avec f(x)
    Si f(-x) = f(x) alors la fonction est paire
    Si f(-x) = - f(x) alors la fonction est impaire

    f(x),=,2,(x)2,+,1,=,2,x2,+,1),=,f(x)f(-x) ,=, \frac{2}{,(-x)^2,+,1},=, \frac{2}{,x^2,+,1)} ,=, f(x)

    Donc la fonction f est paire.

    pour calculer f(x) - 2 , tu as fais une faute de calcul !!

    f(x),,2,=,2,x2,+,1,2,=,2,,2(x2,+,1),x2,+,1,=,2,2x2,,2,x2,+,1,=,2x2,x2,+,1f(x) ,-,2 ,=, \frac{2} {,x^2,+,1},-2,=, \frac{2,-,2(x^2,+,1)}{,x^2,+,1} ,=, \frac{2,-2x^2,-,2}{,x^2,+,1} ,=, \frac{-2x^2}{,x^2,+,1}

    On te demande d'en déduire le signe de f(x) - 2 !! cela devrait être trouvable ! non ?

    Pour le signe de f(x) pas besoin d'un tableau de signe !

    2 est de quel signe ?
    Pour tout x de IR x2x^2 + 1 est de quel signe ?

    donc pour tout x IR f(x) est de quel signe ?

    Commence déjà par cela et je regarde la suite !



  • Merci,
    Alors pour la 2, la justification est (je crois):
    x² est forcement positif donc multiplié par -2 il devient negatif ensuite on divise par un nombre positif (x² positif on ajoute +1 il n'en sera que plus positif :rolling_eyes: ), ça fait donc -.
    La fonction f(x)-2.C'est bon???



  • oui f(x) - 2 est bien un nombre négatif pour tout x de IR

    En effet a phrase ""La fonction f(x)-2.C'est bon???"" n'est pas correcte

    f(x) est un nombre et f(x) - 2 est un nombre pas une fonction



  • Pour la 3, c'est le meme style de raisonnement? 😄



  • et oui



  • Donc, on a pour tout IR, 2 positif, x² positif et 1 postif
    Merci, J'ai toujours pas compri mon erreur dans la 4 et la 5, c'est le vide total



  • Il suffit juste de ne pas se tromper dans les calculs :

    f(a),f(b),=,2a2+1,,2b2+1,=,2(b2+1),2(a2+1),(a2+1),(b2+1),f(a) ,-f(b) ,=, \frac{2}{a^2+1} ,-, \frac{2}{b^2+1},=, \frac{2(b^2+1) ,-2(a^2+1)}{, ( a^2+1) ,( b^2+1) , }



  • Effectivement, 😁 c'est logique j'ai developpé sans le - devant le 2



  • Je ne vois pas en quoi la 4 influencerai ma reponse pour la 5 mais pour la variation le sommet sera atteint [0;0 ]



  • Donc pour le sens de variation de f sur ]-∞; 0] il faut prendre 2 réels a et b tels que

    a < b ≤ 0 et regarder si f(a) est inférieur à f(b) ou le contraire.

    Donc il faut étudier le signe de f(a) - f(b) pour a < b ≤ 0

    si f(a) - f(b) < 0 on aura donc f(a) < f(b) donc f sera croissante sur ]-∞; 0]

    si f(a) - f(b) > 0 on aura donc f(a) > f(b) donc f sera croissante sur ]-∞; 0]

    Et faire de même sur [0 ; +∞ [

    On prend 2 réels a et b tels 0 ≤ a < b et on étudie le signe de f(a) - f(b) etc ...


  • Modérateurs

    Salut,
    L'étude du signe de f(a)-f(b) te permettra de dire si tu as f(a) < f(b) ou le contraire.



  • Merci, est-ce que j'ai le droit de choisir a et b, c'est à dire choisir des nombres
    et ne pas garder des lettres parce que demontrer avec des lettres...
    Merci d'avance (j'ai bien envie de mettre ça en signature 😁 )



  • f(a),f(b),=,,2(ba),(a+b),,(a2+1),(b2+1),f(a) ,-f(b) ,=, \frac{,2(b-a) , (a+b),}{, ( a^2+1) ,( b^2+1),}

    si a < b ≤ 0 alors quel est le signe de (a + b) ?? et celui de (b - a )

    et pour tout a et b quel est le signe du dénominateur ?

    Donc quel est le signe de f(a) - f(b) ??? tu vas y arriver !



  • Merci, je trouve
    a+b negatif
    a-b positif
    donc dans la partie du numerateur le signe est - (+-=-)
    (a²+1)positif
    (b²+1)positif
    le signe du denominateur est + (++=+ :rolling_eyes: )
    Donc en tout on a - et + ce qui fait -.
    Est-ce bon?Merci d'avance



  • En effet si a < b ≤ 0 alors f(a) - f(b) < 0 donc qu'en conclus-tu donc sur la variation de f sur ]-∞; 0] ??

    Tu fais pareil pour [0 ; +∞[ avec 0 ≤ a < b et tu aura gagné !



  • Et puis avant d'aller me coucher je te donne une combine ! Pour vérifier les variations d'une fonction tu la rentres dans ta calculatrice ; tu dessine sa représentation graphique (Graph) et ut regardes son allure !

    tu devrais trouver quelque chose comme

    http://img441.imageshack.us/img441/6545/mathochg3.jpg

    et tu as une confirmation sur le fait qu'elle est croissante sur ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[



  • On en déduit que la fonction est croissante?
    Merci d'avance 🆒



  • Merci pour tout! 😁


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