Fonction (parité,signe...)

Bonjour, j'ai un problème dans mon DM (pour demain ). J'ai oublié comment étudier la parité d'une fonction, j'ai pourtant rechercher sur internet, je ne trouve pas.Je crois me souvenir que ça ressembler à ça: f(x)=-f(x) et f(x)=f(-x) maintenant laquelle sert à demontrer une fonction pair ou impair...ou ni l'un ni l'autre...
Je poste mes reponses et l'énoncé:
énoncé:
Soit la fonction f définie sur R par f :

x→ 2

x²+1

1.Etudier la parité de la fonction f.
2.Calculer f(x)-2. En déduire le signe de f(x)-2.
Interpréter graphiquement ce résultat.
3.Déterminer le signe de f(x)
4.On considère deux réels a et b tels que a ≤ b,
Montrer que :
F (a)-f (b)= 2(b-a) (a+b)
------------------ (fraction)
(a² +1)(b²+1)

5.En déduire le sens de variation de la fonction f sur]-∞; 0] et sur [0 ; +∞ [.
6.Dresser le tableau des variations de la fonction f sur R.
7.Donner la représentation graphique de f.

Mes réponses (attention rien n'est sur :razz: )

f(-x)→ 2

x²+1
f est une fonction pair
2. 2 - 2

x²+1

⇔ 2 - 2x² - 2

x² +1

⇔ 4+x²

x²+1
ensuite pour la parité de f(x)-2 on trouve pair mais je ne vois pas ou est la deduction
interpreter graphiquement
3.J'ai fait un tableau de signe, je ne sais pas si c'est ce qui faut faire
4. j'obtiens 2(b-a)(a+b)+4

(a²+1)(b²+1)
c'est pas normal, pourtant j'ai l'impression d'avoir bien fait le calcul.
5.aucune idée de latechnique a employé
6.meme chose
7.allure de courbe????

Bon, je recapitule j'aurais besoin d'aide sur les questions 2,4,5,6,7
et une correction pour la 1 et la 3.
Merci d'avance

Bonjour,

Soit

$\frac{2}{,x^2,+,1}$

Pour regarder si une fonction est paire ou impaire, il faut bien comparer f(-x) avec f(x)
Si f(-x) = f(x) alors la fonction est paire
Si f(-x) = - f(x) alors la fonction est impaire

$\frac{2}{,(-x)^2,+,1},=, \frac{2}{,x^2,+,1)} ,=, f(x)$

Donc la fonction f est paire.

pour calculer f(x) - 2 , tu as fais une faute de calcul !!

$\frac{2} {,x^2,+,1},-2,=, \frac{2,-,2(x^2,+,1)}{,x^2,+,1} ,=, \frac{2,-2x^2,-,2}{,x^2,+,1} ,=, \frac{-2x^2}{,x^2,+,1}$

On te demande d'en déduire le signe de f(x) - 2 !! cela devrait être trouvable ! non ?

Pour le signe de f(x) pas besoin d'un tableau de signe !

2 est de quel signe ?
Pour tout x de IR $x^2$ + 1 est de quel signe ?

donc pour tout x IR f(x) est de quel signe ?

Commence déjà par cela et je regarde la suite !

Merci,
Alors pour la 2, la justification est (je crois):
x² est forcement positif donc multiplié par -2 il devient negatif ensuite on divise par un nombre positif (x² positif on ajoute +1 il n'en sera que plus positif :rolling_eyes: ), ça fait donc -.
La fonction f(x)-2.C'est bon???

oui f(x) - 2 est bien un nombre négatif pour tout x de IR

En effet a phrase ""La fonction f(x)-2.C'est bon???"" n'est pas correcte

f(x) est un nombre et f(x) - 2 est un nombre pas une fonction

Pour la 3, c'est le meme style de raisonnement?

et oui

Donc, on a pour tout IR, 2 positif, x² positif et 1 postif
Merci, J'ai toujours pas compri mon erreur dans la 4 et la 5, c'est le vide total

Il suffit juste de ne pas se tromper dans les calculs :

$\frac{2}{a^2+1} ,-, \frac{2}{b^2+1},=, \frac{2(b^2+1) ,-2(a^2+1)}{, ( a^2+1) ,( b^2+1) , }$

Effectivement, c'est logique j'ai developpé sans le - devant le 2

Je ne vois pas en quoi la 4 influencerai ma reponse pour la 5 mais pour la variation le sommet sera atteint [0;0 ]

Donc pour le sens de variation de f sur ]-∞; 0] il faut prendre 2 réels a et b tels que

a < b ≤ 0 et regarder si f(a) est inférieur à f(b) ou le contraire.

Donc il faut étudier le signe de f(a) - f(b) pour a < b ≤ 0

si f(a) - f(b) < 0 on aura donc f(a) < f(b) donc f sera croissante sur ]-∞; 0]

si f(a) - f(b) > 0 on aura donc f(a) > f(b) donc f sera croissante sur ]-∞; 0]

Et faire de même sur [0 ; +∞ [

On prend 2 réels a et b tels 0 ≤ a < b et on étudie le signe de f(a) - f(b) etc ...

Salut,
L'étude du signe de f(a)-f(b) te permettra de dire si tu as f(a) < f(b) ou le contraire.

Merci, est-ce que j'ai le droit de choisir a et b, c'est à dire choisir des nombres
et ne pas garder des lettres parce que demontrer avec des lettres...
Merci d'avance (j'ai bien envie de mettre ça en signature )

$\frac{,2(b-a) , (a+b),}{, ( a^2+1) ,( b^2+1),}$

si a < b ≤ 0 alors quel est le signe de (a + b) ?? et celui de (b - a )

et pour tout a et b quel est le signe du dénominateur ?

Donc quel est le signe de f(a) - f(b) ??? tu vas y arriver !

Merci, je trouve
a+b negatif
a-b positif
donc dans la partie du numerateur le signe est - (+-=-)
(a²+1)positif
(b²+1)positif
le signe du denominateur est + (++=+ :rolling_eyes: )
Donc en tout on a - et + ce qui fait -.
Est-ce bon?Merci d'avance

En effet si a < b ≤ 0 alors f(a) - f(b) < 0 donc qu'en conclus-tu donc sur la variation de f sur ]-∞; 0] ??

Tu fais pareil pour [0 ; +∞[ avec 0 ≤ a < b et tu aura gagné !

Et puis avant d'aller me coucher je te donne une combine ! Pour vérifier les variations d'une fonction tu la rentres dans ta calculatrice ; tu dessine sa représentation graphique (Graph) et ut regardes son allure !

tu devrais trouver quelque chose comme

et tu as une confirmation sur le fait qu'elle est croissante sur ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[

On en déduit que la fonction est croissante?
Merci d'avance

Merci pour tout!