Montrer qu'une suite converge et trouver son expression à l'aide d'une suite intermédiaire



  • Bonjour, j'ai un probleme a un exercice !

    l'énoncé:
    soit la suite de terme général Un avec n € N* definie par :

    U1 = 1/2
    U(n+1) = ((n+1) / (2n)) x Un

    1)Calculer U2 U3 et U4.
    2) Montrer que pour tout entier naturel non nul :
    0≤U(n+1)≤Un

    en deduire que la suite converge.

    1. Montrer que la suite de terme general Vn definie par :
      Vn = Un / n
      est une suite geometrique dont on determinera la raison et le 1er terme.
      En deduire lim Vn quand n tend vers x

    2. Deduire Un en fonction de n.

    La question 1 est faite mais je bloque sur les autres ...

    si quelqu'un peut m'aider merci !


  • Modérateurs

    Salut chrisf,
    Tu as une suite définie par récurrence, à mon avis pour prouver des propriétés de cette suite telles que celles demandées en 2), il est de bon ton d'essayer une récurrence...



  • je dois alors faire 2 recurrences ?


  • Modérateurs

    Tu dois pouvoir montrer les deux propriétés en même temps, mais si tu crains de t'emmêler les pinceaux tu peux très bien le faire en 2 fois.



  • mais j'ai juste le problème de qu'est ce qui faut marquer au début de la récurrence j'ai un probleme pour prouver Un.


  • Modérateurs

    Essaie de t'exprimer plus clairement, ton message n'est pas très compréhensible, si tu as un problème dans l'initialisation, quel est-il qu'est-ce qui te bloque exactement?



  • Je pense que dans ce cas, Un+1U_{n+1}UnU_n

    il n'est pas nécessaire de se lancer dans une récurrence.

    Etudier le signe de Un+1U_{n+1} - UnU_n pour n > 0 est plus rapide.

    Pour 0 < Un+1U_{n+1} la récurrence est évidente.



  • pour la recurrence j'étais bloqué a l'initialisation ...

    je vais essayé de faire Un+1 - Un comme Zorro me l'indique si j'y arrive plus facilement


  • Modérateurs

    C'est vrai que la méthode de zorro paraît plus simple, je me suis un peu compliqué, désolé :rolling_eyes: , mais pour l'initialisation il n'y avait pas de difficultés : juste appliquer calculer chaque membre pour n=1 et vérifier les inégalités.



  • petite question bete mais Un est egal a quoi ?


  • Modérateurs

    On ne le sait pas, l'objectif de l'exercice est justement de pouvoir ecrire Un en fonction de n.



  • En fait je suis allée un peu vite dans ma dernière intervention. Il faut bien faire 1 récurrence pour montrer que pour tout n de $$mathbb{N}$^*$ UnU_n > 0

    Initialisation pour n = 1 .....

    Ensuite on suppose que UnU_n > 0
    et avec la défintion de Un+1U_{n+1} on en déduit que Un+1U_{n+1} > 0

    Pour montrer que Un+1U_{n+1}UnU_n on étudie le signe de Un+1U_{n+1} - UnU_n
    en utilisant le fait que UnU_n > 0



  • merci Zorro je vais faire ca



  • merci Zorro je vais faire ca


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