melange (suite fonctions )



  • Bonjour,

    Voici un exercice, dont je ne donnerai pas le vrai énoncé mais un ennocé équivalent car je ne veux pas de réponse, mais des directives pour résoudre l'exercice par moi-même.

    Je posterai les questions au fur et à mesure.

    Soient un réel b et la suite v définie sur par U0U_0 = b
    et ∀n∈N(l'ensemble), Un+1U_{n+1}= f(Unf(U_n) où f est la fonction:
    x→(7/6)x² - 3x² + 7.

    1. Montrer que U ( la suite ) est croissante

  • Modérateurs

    Salut Alex,

    Il manque quelques éléments dans ta question ... mais je vais essayer d'extrapoler.

    Pour que cette technique particulière fonctionne, il faut que f soit croissante sur l'intervalle dans lequel sont compris tous les termes de la suite unu_n.

    C'est un raisonnement par récurrence tout simple :
    si unu_nun+1u_{n+1}
    alors f(unf(u_n) ≤ f(un+1f(u_{n+1}) (par définition d'une suite croissante)
    donc un+1u_{n+1}un+2u_{n+2}

    J'espère que toi aussi tu sauras extrapoler ^^



  • en fait ce qui me posai problème dans cette question c'était de savoir si je pouvais utiliser la récurrence pour en venir à bout.
    Mais dans un raisonnement une fois que l'hérédité est prouvé, la transmissibilité est:

    Soit p un réel tel que UpU_p < Up+1U_{p+1}
    A-t-on Up+1U_{p+1} < Up+2U_{p+2} ?
    UpU_p < Up+1U_{p+1} ⇔ ( est ce que je met la fonction alors qu'on parle de suite, c est cela qui me gène car quand je redige, je détaille pour aboutir a f(Upf(U_p)p+1)

    2ème question de l'exercice toujours sans me donner de réponse à la question mais une façon pour procéder svp

    On suppose ici: a ∈ à un certain intervalle. ( disons qu il est compris entre 0 et une valeur positive)
    Montrer que ∀n∈ N (l ensemble ) UnU_n∈ à l'intervalle considéré.
    Moi j ai dérivé la fonction, j ai trouvé une seule solution, donc un changement de variation passant du décroissante à croissante.

    Au fait je me suis trompé pour la fonction c 'est en fait
    x→(7/6)x² - 3x + 7.

    Toujours en extrapolant, pourquoi la suite converge t-elle ? Comment je pourrai procéder pour cela, j avais pensé a montrer qu elle est majorée car tout suite majorée et croissante converge. Instinctivement je diré qu elle converge vers la valeur où j ai le changement de variation mais faudrait que je trouve un majorant. Comment faire ?

    Oublier pas de me repondre aussi svp sur la 1ere question sur ce que j ai ecrit

    modif : fautes de frappe


  • Modérateurs

    Salut,

    Définition d'une fonction croissante :
    si a < b alors f(a) < f(b)
    Ca c'est pour répondre à ta 1ère question.

    Pour ta deuxième question : il faut que tu repères le minimum et le maximum de ta fonction. Tu pourras alors dire que si UnU_n appartient à l'intervalle alors f(Unf(U_n) aussi (encore un raisonnement par récurrence).

    Si ta suite est croissante et majorée alors elle est bornée. (C'est un théorème dans ton cours).



  • ok donc si je redige sur feuille cela donne:

    Montrons que la suite u est croissante.

    1ere étape:
    U0U_0 = b
    U1U_1 = (7/6)b² - 3b + 7
    U0U_0 < U1U_1

    2ème étape: soit p un entier naturel tel que UpU_pUp+1U_{p+1}
    A t-on Up+1U_{p+1}Up+2U_{p+2}
    UpU_pUp+1U_{p+1}f(Unf(U_n) < f(Un+1f(U_{n+1})
    Up+1U_{p+1} < Up+2U_{p+2}
    Par conséquent UnU_nn+1
    La suite (un)(u_{n)} est donc croissante.

    -----> Pouvez me dire si cela est juste et si vous trouvez que la rédaction ne convient pas me la corrigé svp ?


  • Modérateurs

    Thierry

    si unu_nun+1u_{n+1}
    alors f(unf(u_n) ≤ f(un+1f(u_{n+1}) (par définition d'une suite croissante)
    donc un+1u_{n+1}un+2u_{n+2}

    Oui ça a l'air juste, fautes de frappe mises à part (relis !) et des inférieurs ou égal à la place des inégalités strictes.
    Ajoute quand même (comme moi) que tu utilises le fait que f soit croissante.


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