melange (suite fonctions )

Bonjour,

Voici un exercice, dont je ne donnerai pas le vrai énoncé mais un ennocé équivalent car je ne veux pas de réponse, mais des directives pour résoudre l'exercice par moi-même.

Je posterai les questions au fur et à mesure.

Soient un réel b et la suite v définie sur par $U_0$ = b
et ∀n∈N(l'ensemble), $U_{n+1}$ = $f(U_n$ ) où f est la fonction:
x→(7/6)x² - 3x² + 7.

Montrer que U ( la suite ) est croissante

Salut Alex,

Il manque quelques éléments dans ta question ... mais je vais essayer d'extrapoler.

Pour que cette technique particulière fonctionne, il faut que f soit croissante sur l'intervalle dans lequel sont compris tous les termes de la suite $u_n$ .

C'est un raisonnement par récurrence tout simple :
si $u_n$ ≤ $u_{n+1}$
alors $f(u_n$ ) ≤ $f(u_{n+1}$ ) (par définition d'une suite croissante)
donc $u_{n+1}$ ≤ $u_{n+2}$

J'espère que toi aussi tu sauras extrapoler ^^

en fait ce qui me posai problème dans cette question c'était de savoir si je pouvais utiliser la récurrence pour en venir à bout.
Mais dans un raisonnement une fois que l'hérédité est prouvé, la transmissibilité est:

Soit p un réel tel que $U_p$ < $U_{p+1}$
A-t-on $U_{p+1}$ < $U_{p+2}$ ?
$U_p$ < $U_{p+1}$ ⇔ ( est ce que je met la fonction alors qu'on parle de suite, c est cela qui me gène car quand je redige, je détaille pour aboutir a $f(U_p$ )p+1)

2ème question de l'exercice toujours sans me donner de réponse à la question mais une façon pour procéder svp

On suppose ici: a ∈ à un certain intervalle. ( disons qu il est compris entre 0 et une valeur positive)
Montrer que ∀n∈ N (l ensemble ) $U_n$ ∈ à l'intervalle considéré.
Moi j ai dérivé la fonction, j ai trouvé une seule solution, donc un changement de variation passant du décroissante à croissante.

Au fait je me suis trompé pour la fonction c 'est en fait
x→(7/6)x² - 3x + 7.

Toujours en extrapolant, pourquoi la suite converge t-elle ? Comment je pourrai procéder pour cela, j avais pensé a montrer qu elle est majorée car tout suite majorée et croissante converge. Instinctivement je diré qu elle converge vers la valeur où j ai le changement de variation mais faudrait que je trouve un majorant. Comment faire ?

Oublier pas de me repondre aussi svp sur la 1ere question sur ce que j ai ecrit

modif : fautes de frappe

Salut,

Définition d'une fonction croissante :
si a < b alors f(a) < f(b)
Ca c'est pour répondre à ta 1ère question.

Pour ta deuxième question : il faut que tu repères le minimum et le maximum de ta fonction. Tu pourras alors dire que si $U_n$ appartient à l'intervalle alors $f(U_n$ ) aussi (encore un raisonnement par récurrence).

Si ta suite est croissante et majorée alors elle est bornée. (C'est un théorème dans ton cours).

ok donc si je redige sur feuille cela donne:

Montrons que la suite u est croissante.

1ere étape:
$U_0$ = b
$U_1$ = (7/6)b² - 3b + 7
$U_0$ < $U_1$

2ème étape: soit p un entier naturel tel que $U_p$ ≤ $U_{p+1}$
A t-on $U_{p+1}$ ≤ $U_{p+2}$
$U_p$ ≤ $U_{p+1}$ ⇔ $f(U_n$ ) < $f(U_{n+1}$ )
⇔ $U_{p+1}$ < $U_{p+2}$
Par conséquent $U_n$ n+1
La suite $u_{n)}$ est donc croissante.

-----> Pouvez me dire si cela est juste et si vous trouvez que la rédaction ne convient pas me la corrigé svp ?

Thierry

si $u_n$ ≤ $u_{n+1}$
alors $f(u_n$ ) ≤ $f(u_{n+1}$ ) (par définition d'une suite croissante)
donc $u_{n+1}$ ≤ $u_{n+2}$

Oui ça a l'air juste, fautes de frappe mises à part (relis !) et des inférieurs ou égal à la place des inégalités strictes.
Ajoute quand même (comme moi) que tu utilises le fait que f soit croissante.