Spé - Résolution d'équation



  • Bonjour à tous! On me demande dans un exo de résoudre l'équation suivante dans Z² (oui oui l'ensemble Z au carré si quelqu'un sait ce que cela signifie...) :
    xy=781 alors jai réussi a trouver un résultat avec la calculatrice en faisantune fonction de la forme y=781/x ainsi je ne garde que les valeurs de x et de y pour que ce soient des entiers. Seulement comment résoudre cette équation sur le papier, en justifiant le calcul ? Ou peut-être dois-je expliquer ma démarche sur la machine ?
    Merci de votre aide !!



  • bonjour,
    Alors je réfléchi sur ton problème, mais tout d'abord un éclaircissement sur Z²:
    Tu as deux variables x et y cela signifie que x doit appartenir à Z et y doit appartenir à Z.
    Quand tu as une seule variable, on te dis de résoudre l'équation dans Z tout seul; mais là tu as deux variables d'où le Z².

    et je cherche pour la suite.



  • Je suppose que tu es dans le chapitre sur les nombres premiers.
    comme x et y sont des entiers relatifs, il faut que tu cherche les diviseurs de 781. (Commence par chercher les entiers naturels, puis pour les relatifs, ça viendra tout seul après).
    Je te laisse chercher, mais si tu ne trouve pas dis le moi.



  • Merci beaucoup je pensais déjà à chercher des solutions qui ne seraient que des carrés d'autres nombres... Et puis merci pour ta rapidité^^



  • A vrai dire j'ai déjà trouvé les diviseurs entiers de 781, mais grâce à la calculatrice. Je ne me souviens plus lesquels désolé mais le probleme c'est surtout que je ne sais pas comment justifier ce que j'ai trouvé par un calcul littéral ou un systèmes d'équations. Et au fait : l'exo peut porter sur la division euclidienne ou les congruences, alors je pencherais plutot pour la division euclidienne 😉



  • La question d'apres c'est : x²=y²+76. Pareil je cherche a la calculatrice les entiers qui divisent √(y²=76) meme probleme, je ne sais pas comment justifier par un calcul en bonne et due forme 😕 Mais peut-être que je me cassse la tete pour rien et qu'en fait expliquer la démarche avec la calculatrice suffirait...



  • Alors pour la première question j'écrirai:
    781= 1 * 781
    =(-1) * (-781)
    =11 * 71
    =(-11) * (-71)
    11 et 71 sont premiers.
    Donc l'équation xy=781 admet 8 solutions dans Z² qui sont:
    (1;781); (-1;-781) ;(11;71) ;(-11;-71)
    (781;1);(-781;-1);(71;11);(-71;-11).

    Je pense que ça suffit mais ça dépend de la rédaction que ton prof attend. Il faut que tu compare avec les autres exercices que tu as fais pour voir si il n'y a pas une "phrase type" qu'il attend dans la justification.



  • Pour la deuxième question, j'ai une méthode a te proposer mais je ne sais pas si c'est forcément la plus simple.
    Je vais la diviser en 4 sous-questions:
    a) Décomposer 76 en produit de facteurs premiers et en déduire tous ses diviseurs.
    b)x et y désignent deux entiers naturels non nuls. Démontrer que (x+y) et (x-y) ont la même parité.
    c) Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x²-y²=76.
    d) Conclure quant aux solutions de l'équation x²=y²+76 dans Z².


  • Modérateurs

    Pour le premier exo, je pense qu'il est bien de parler de décomposition en facteurs premiers (dont l'unicité assure qu'il n'y a pas d'autres diviseurs).

    Pour le deuxième exo les conseils de snoupynette me semble très bons (quoique la démonstration du fait que x-y et x+y soient de même parité me semble rallonger plus la réponse qu'autre chose puisque de toute façon on ne fonctionne que par implication et qu'il fauddra donc vérifier les résultats obtenus).

    Quant à $$mathbb{Z}$,cestentermeplusmathématiques,lensembledescouplesdelaforme(x,y)oùxetyappartiennentà, c'est en terme plus mathématiques, l'ensemble des couples de la forme (x,y) où x et y appartiennent à mathbb{Z}$. (en fait on dit (x,y)∈$mathbbZmathbb{Z}^²$ plutot que x∈mathbbZmathbb{Z} et y∈mathbbZmathbb{Z} tout simplement parce que ça s'écrit plus vite, le matheux est fainéant ne l'oublions pas...)


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