extremum



  • Bonjour,

    Pouvez vous m'aider ?

    Enoncé: Déterminer le minimum sur ]0, +∞[ de la fonction
    f(x) =√ (x+1)*(1+(1/√x))

    J'arrive pas à déterminer sa dérivée

    Je sais que elle est de la forme u'(x)v(x) + v'(x)u(x)
    avec u → √ (x+1) et u' → 1 / (2√(x+1)
    et v → 1+(1/√x) et v' → - 1 / (2x
    √x)

    Pouvez m'aidez dans le calcul ?
    Au fait u' et v' sont justes ?


  • Modérateurs

    Salut gael,
    bah pour l'instant tes calculs sont justes, tu n'as plus qu'à calculer :
    u'(x)v(x) + v'(x)u(x) et tu auras ta dérivée.



  • J'obtiens

    f'(x) = ( 1 / (2√x+1) ) + ( 1 / (2x√x ) + ( 4x*√x) / (-4x^3) )

    J'ai déjà l'impression de m'être trompé mais je vois pas où
    Je pense que je me suis trompé pour v'(x)u(x)
    Quelqu'un pourrait-il m'en détailler le calcul ?


  • Modérateurs

    ouh la il ya des trucs qui m'échappent dans ton calcul :

    u'(x)v(x) + v'(x)u(x)=[1 / (2√(x+1)][1+(1/√x)]+[- 1 / (2x√x)][√ (x+1)]

    Tu n'as qu'à développer ça doucement et simplifier ce qui ppeut l'être.



  • comment se débarasses t-on de la racine pour v'(x)u(x) en faisant ( *2x√x ) non ?


  • Modérateurs

    Je n'en vois pas l'utilité pour l'instant, il faudrait surtout mettre tout sur le même dénominateur pour déterminer en quelle valeur la dérivée s'annule, tu verras ensuite si faire disparaître des racines peut t'aider ou pas.



  • J'obtiens

    ( 2x√x - √(x+1) ) / 4x²√x et vous ?


  • Modérateurs

    Je ne trouve pas pareil, peux-tu détailler ton calcul ?



  • f'(x) = [1 / (2√(x+1)][1+(1/√x)]+[- 1 / (2x√x)][√ (x+1)]
    f'(x) = [1 / (2√(x+1)]+[1/(2x√x)]+[- √ (x+1) / (2x√x)]
    f'(x) = [ 2x√x + 2√(x+1) - √x+1)] / (4x²√x)
    f'(x) = [ 2x√x + √(x+1)] / (4x²√x)


  • Modérateurs

    le deuxième terme de la deuxième ligne est faux : √(x+1)*√x ≠ x√x !!!



  • bah alors comment je rectifie ça ? , ça parait bête mais ça me bloque


  • Modérateurs

    Ben ton deuxième terme devient 1/(√x√(x+1)) et tu continues ton calcul. Le dénominateur commun le plus judicieux étant 2x√x*√(x+1)



  • Dans cas j'obtiens x + x√x - 1 / (2x√x√(x+1))


  • Modérateurs

    oui là je suis d'accord, il reste à déterminer quand ceci est nul



  • bah quand x équivaut à 0
    mais 0 est pas compris dans l'ensemble.
    j'y comprends pu rien lol


  • Modérateurs

    Récapitulatif :
    On te demande de trouver le minimum de la fonction f(x) =√ (x+1)(1+(1/√x)) qui est définie sur ]0,+∞[.
    Pour ce faire on dérive et on regarde en quel(s) point(s) la dérivée s'annule (puisque s'il y a un minimum la dérivée s'annule en ce minimum, mais il faudra vérifier que les points où la dérivée s'annulent sont bien des minimums).
    On sait que f'(x)= (x + x√x - 1) / (2x
    √x*√(x+1)).
    il faut donc maintenant résoudre f'(x)=0.



  • et bien en x = 0 dans ce cas


  • Modérateurs

    Mais f' n'est pas définie en 0, et puis je ne vois pas pourquoi f' serait nulle en 0. Rappelonss-nous que :
    ${\frac{a}{b} = 0, \longleftrightarrow , {a = 0 \text{ et } { b } , \neq , {0}}$



  • alors là je rend mon tablier, j ai essayé de calculer en qui le numérateur s'annule mais je me mélange les pinceaux


  • Modérateurs

    courage tu vas y arriver !
    Peux-tu écrire tes calculs que l'on puisse voir ce qui t'embête.



  • alors pour le numérateur:

    x + x√x - 1 = 0
    x + x√x = 1
    x ( √x + 1 ) = 1

    après je sais pu quoi faire


  • Modérateurs

    Qu'est-ce qui t'embête exactement, ne serait-ce pas la racine carrée ?
    Que fait-on quand une racine carrée nous embête ?



  • x + x√x - 1 = 0
    +x3+x^3+1=0
    +x3+x^3 = - 1

    je sèche de nouveau


  • Modérateurs

    Citation
    x + x√x - 1 = 0
    x²+x3+1=0
    Depuis quand (a+b+c)²= a²+b²+c² ???
    Attention à ces petites erreurs de calcul...



  • trop long a développer, mais j aboutirais de cette facon quand meme à des doubles produits avec des racines...


  • Modérateurs

    oui, comment pourrais-tu faire alors pour ne pas avoir de double produit avec une racine ?



  • je ne vois pas... désolé :frowning2:



  • Je te rappelle que tu as une égalite :
    x + x√x - 1 = 0
    je peux aussi l'ecrire:
    x - 1 = -x√x


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